Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \( \frac{3a}{2} \). Diện tích của thiết diện đó bằng
A. \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
B. \( 12{{a}^{2}}\sqrt{3} \)
C. \( \frac{12{{a}^{2}}}{7} \)
D. \( \frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.
+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ \( OH\bot SI \), \( H\in SI \).
+ \( \left\{ \begin{align} & AB\bot OI \\ & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)
+ \( \left\{ \begin{align} & OH\bot SI \\ & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)
Xét \( \Delta SOI \) vuộng tại O, ta có: \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)
\( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)
Xét \( \Delta AOI \) vuông tại I, \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)
\( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)
Vậy diện tích của thiết diện là: \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!