Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ  \( OH\bot SI  \),  \( H\in SI  \).

+  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot OI \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)

+  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot SI \\  & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)

Xét  \( \Delta SOI  \) vuộng tại O, ta có:  \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)

 \( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)

Xét  \( \Delta AOI  \) vuông tại I,  \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

 \( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

Vậy diện tích của thiết diện là:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)