Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( \Delta AHB  \) vuông tại H, ta có:  \( AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta AHB  \) vuông tại H,  \( HI\bot AB  \) tại I, ta có:  \( HI=\frac{AH.HB}{AB}=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2).

Trong đó:

(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là  \( {{S}_{1}}=\pi .HI.AH=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2} \)

(N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là  \( {{S}_{2}}=\pi .HI.BH=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2} \)

 \( \Rightarrow S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}=\frac{\left( 3+\sqrt{3} \right)\pi {{a}^{2}}}{2} \)