Hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3)f(x+1) \). Biết rằng \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \), tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3)f(x+1)\Rightarrow {{f}^{4}}(1-x)={{({{x}^{2}}+3)}^{2}}.{{f}^{2}}(x+1)\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & {{f}^{2}}(1+x)=({{x}^{2}}+3).f(1-x)\begin{matrix}   {} & {} & {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Từ (1) và (2) suy ra:  \( f(1-x)={{x}^{2}}+3={{(1-x-1)}^{2}}+3 \).

 \( \Rightarrow f(x)={{(x-1)}^{2}}+3\Rightarrow {f}”(x)=2 \).

\(\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{(4x-2)dx}=\left. \left( 2{{x}^{2}}-2x \right) \right|_{0}^{2}=4\).