Đường thẳng y=12 cắt (C1), trục Oy, (C2) lần lượt tại M, H, N. Biết H là trung điểm của MN và MNPQ có diện tích bằng 32 (với P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N, M trên trục hoành)

Cho hàm số  \( y={{a}^{x}} \),  \( y={{\log }_{b}}x \) lần lượt có đồ thị (C1), (C2) như hình vẽ bên. Đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \) cắt (C1), trục Oy, (C2) lần lượt tại M, H, N. Biết H là trung điểm của MN và MNPQ có diện tích bằng  \( \frac{3}{2} \) (với P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N, M trên trục hoành). Giá trị của biểu thức  \( T={{a}^{3}}+4b \) bằng bao nhiêu?

A. 16

B. 15

C. 13

D. 17

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Do N thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) nên gọi \(N\left( {{x}_{0}};\frac{1}{2} \right)\) với \({{x}_{0}}>0\). Khi đó: \(\left\{ \begin{align}& HN={{x}_{0}} \\& NP=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\).

Suy ra: \(\frac{3}{2}={{S}_{MNPQ}}=NM.NP\) \(=2HN.NP=2{{x}_{0}}.\frac{1}{2}={{x}_{0}}\).

Vậy \({{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Vì H là trung điểm của MN \(\Rightarrow M,N\) đối xứng nhau qua trục Oy \(\Rightarrow M\left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Do \( \left\{ \begin{align}& M\in ({{C}_{1}}) \\& N\in ({{C}_{2}}) \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2}={{a}^{-\frac{3}{2}}} \\& \frac{1}{2}={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-\frac{2}{3}}}=a \\& 2={{\log }_{b}}\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{2}^{\frac{2}{3}}} \\& b={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{3}}=4 \\& 4b=9 \\\end{align} \right. \)

\(\Rightarrow T={{a}^{3}}+4b=13\)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *