Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 và 1/logba + 1/logab = căn(2020)

(Chuyên Lam Sơn – 2020) Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 và \( \frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{a}}b}=\sqrt{2020} \). Giá trị của biểu thức  \( P=\frac{1}{{{\log }_{ab}}b}-\frac{1}{{{\log }_{ab}}a} \) bằng

A. \( \sqrt{2014} \)

B. \( \sqrt{2016} \)

C. \( \sqrt{2018} \)          

D.  \( \sqrt{2020} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

D a > b > 1 nên  \( {{\log }_{a}}b>0,{{\log }_{b}}a>0 \) và  \( {{\log }_{b}}a>{{\log }_{a}}b. \)

Ta có:  \( \frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{1}{{{\log }_{a}}b}=\sqrt{2020} \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{b}}a+{{\log }_{a}}b=\sqrt{2020} \)

 \( \Leftrightarrow \log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b+2=2020\Leftrightarrow \log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b=2018 \)

Khi đó:  \( P={{\log }_{b}}ab-{{\log }_{a}}ab \)  \( ={{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}b-{{\log }_{a}}a-{{\log }_{a}}b={{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b \)

Suy ra: \({{P}^{2}}={{\left( {{\log }_{b}}a-{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}=\log _{b}^{2}a+\log _{a}^{2}b-2=2018-2=2016\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{2016}\)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *