Tích các giá trị nguyên nhỏ hơn 2021 của biểu thức P=4^1/x^2+4^y

Cho x, y là các sốt hực dương khác 1 thỏa mãn \( x\ne y  \) và \({{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}\text{x}\). Tích các giá trị nguyên nhỏ hơn 2021 của biểu thức \(\text{P=}{{4}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}+{{4}^{y}}\) là

A. \(2021!\)

B. \(\frac{2020!}{16}\)

C. \(\frac{2020!}{2}\)          

D. \(2020!\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \({{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}x\Leftrightarrow {{\log }_{x}}(xy)=2{{\log }_{y}}x\)\(\Leftrightarrow 1+{{\log }_{x}}y=2.\frac{1}{{{\log }_{x}}y}\Leftrightarrow \log _{x}^{2}y+{{\log }_{x}}y-2=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\log }_{x}}y=1 \\ & {{\log }_{x}}y=-2 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y\text{ (loại)} \\ & y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{ (nhận) } \\ \end{align} \right. \)

Với  \( y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow P={{2.4}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}={{\log }_{4}}\frac{P}{2} \)(*)

Với  \( x>0,x\ne 1 \)   \( \Rightarrow P>2 \) và  \( P\ne 8 \).

Suy ra tập hợp các số nguyên P thỏa mãn điều kiện (*) là:  \( S=\left\{ ;4;5;6;7;9;…;2020 \right\} \) .

Tích các phần tử của S là:  \( 3.4.5.6.7.9….2020=\frac{2020!}{16} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *