Tích các giá trị nguyên nhỏ hơn 2021 của biểu thức P=4^1/x^2+4^y

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \({{\log }_{x}}\sqrt{xy}={{\log }_{y}}x\Leftrightarrow {{\log }_{x}}(xy)=2{{\log }_{y}}x\)\(\Leftrightarrow 1+{{\log }_{x}}y=2.\frac{1}{{{\log }_{x}}y}\Leftrightarrow \log _{x}^{2}y+{{\log }_{x}}y-2=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\log }_{x}}y=1 \\ & {{\log }_{x}}y=-2 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y\text{ (loại)} \\ & y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{ (nhận) } \\ \end{align} \right. \)

Với  \( y=\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow P={{2.4}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \) \( \Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}={{\log }_{4}}\frac{P}{2} \)(*)

Với  \( x>0,x\ne 1 \)   \( \Rightarrow P>2 \) và  \( P\ne 8 \).

Suy ra tập hợp các số nguyên P thỏa mãn điều kiện (*) là:  \( S=\left\{ ;4;5;6;7;9;…;2020 \right\} \) .

Tích các phần tử của S là:  \( 3.4.5.6.7.9….2020=\frac{2020!}{16} \).