Tổng hợp các công thức về logarit

+ Điều kiện xác định của \( {{\log }_{a}}b \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& b>0 \\& 0 < a\ne 1 \\\end{align} \right. \)

+ Các công thức và quy tắc tính logarit: với \( 0 < a\ne 1 \) và \( b>0,c>0,\alpha \ne 0 \):

• \({{\log }_{a}}1=0\)
• \({{\log }_{a}}a=1\)
•  \( {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b \)
•  \( {{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}{{\log }_{a}}b \)  \( \left( n\ne 0 \right) \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b \\& {{\log }_{a}}{{b}^{m}}=m{{\log }_{a}}b \\\end{align} \right. \)

•  \( {{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c \)
•  \( {{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c \) \( \Rightarrow {{\log }_{a}}\frac{1}{b}=-{{\log }_{a}}b \)
• \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b \) \( \Rightarrow {{\log }_{c}}b=\frac{{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}c} \) \( \left( 0 < c\ne 1 \right) \)
•  \( {{\log }_{a}}c=\frac{1}{{{\log }_{c}}a} \) \( \left( 0 < c\ne 1 \right) \)
•  \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c \)

+ So sánh: Cho số dương \(a\ne 1\) và các số dương \(b,c\):

• Khi \(a>1\) thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c\) và \({{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b>1\)
• Khi \(0<a<1\) thì \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b<c\) và \( {{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b<1 \)

+ Chú ý:

• Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết: \( {{\log }_{10}}b=\log b=\lg b \)
• Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết: \( {{\log }_{e}}b=\ln b \)