Cho phương trình log4(x+1)^2+2=log√2√4−x+log8(4+x)^3. Tổng các nghiệm của phương trình trên là

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}  & {{(x+1)}^{2}}>0 \\  & 4-x>0 \\  & 4+x>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne -1 \\  & -4<x<4 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( {{\log }_{4}}{{(x+1)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{(4+x)}^{3}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}{{(x+1)}^{2}}+{{\log }_{2}}4={{\log }_{2}}(4-x)+{{\log }_{2}}(4+x) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{(x+1)}^{2}}+2{{\log }_{2}}4=2{{\log }_{2}}(4-x)+2{{\log }_{2}}(4+x) \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 16.{{(x+1)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}{{(4-x)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{(4+x)}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 16.{{(x+1)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}{{(16-{{x}^{2}})}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow 16.{{(x+1)}^{2}}={{(16-{{x}^{2}})}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4(x+1)=16-{{x}^{2}} \\  & 4(x+1)=-(16-{{x}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}+4x-12=0 \\  & {{x}^{2}}-4x-20=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2\,\,(n) \\  & x=-6\,\,(\ell ) \\  & x=2+2\sqrt{6}\,\,(\ell ) \\  & x=2-2\sqrt{6}\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:  \( 4-2\sqrt{2} \).