Cho tam giác ABC, O là điểm trong tam giác. AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF tại N và M. Chứng minh rằng OM=ON

Hướng dẫn giải:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BO, CO, DE, DF lần lượt tại P, Q, I, H.

Theo định lí Thales, ta có:  \( \frac{AQ}{BC}=\frac{AH}{BD},\text{ }\frac{BC}{AP}=\frac{DC}{AI} \).

Nhân hai đẳng thức  \( \Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{AH}{BD}.\frac{DC}{AI} \).

Mặt khác:  \( \frac{AQ}{AP}=\frac{DC}{DB}\Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{DC}{DB}=\frac{AH}{BD}.\frac{DC}{AI} \).

\(\Rightarrow \frac{AH}{AI}=1\Rightarrow AH=AI,\text{ }\Delta DHI\) có DA là trung tuyến  \( \Rightarrow OM=ON \).