Cho đa giác ABCDE, thỏa mãn BACˆ=CADˆ=DAEˆ và ABCˆ=ACDˆ=ADEˆ. Đường thẳng BD cắt CE tại M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm CD

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết  \( \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE} \) và  \( \widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE} \).

 \( \Rightarrow \Delta ABC,\text{ }\Delta ACD,\text{ }\Delta ADE \) đồng dạng (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{AD}{AE} \)   (1)

Giả sử BD cắt AC tại P, CE cắt AD tại Q.

Từ  giả thiết  \( \widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{CAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE} \)

 \( \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAE}\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta ACE \) (c.g.c).

AP là phân  giác của  \( \widehat{BAD} \), AQ là phân giác  \( \widehat{CAE} \)  \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AQ} \).

Kết hợp (1) \( \Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AD}\Rightarrow \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AD} \), theo định lý Thales đảo  \( \Rightarrow PQ\parallel CD \).

 \( \Rightarrow PQCD \) là hình thang  \( \Rightarrow  \) theo tính chất hình thang AM đi qua trung điểm CD

 \( \Rightarrow IC=ID \).