Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Qua I kẻ đường thẳng d1 cắt CA, AB tại M, N và đường thẳng d2 cắt cạnh CA, AB tại P, Q. Đường thẳng PN cắt cạnh BC tại E và đường thẳng QM cắt cạnh BC tại F. Chứng minh \( IE=IF \).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Menelaus trong \( \Delta ABC \) với cát tuyến MNI, ta có:
\( \frac{IB}{IC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1\Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1 \).
Với cát tuyến PQI, ta có:
\( \Rightarrow \frac{IC}{IB}.\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1 \)
\( \Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}\Rightarrow \frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \) (*)
Tương tự đối với cát tuyến NEP và QMF:
\( \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=1 \) và \( \frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC}=1 \)
\( \Rightarrow \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \) kết hợp với (*), ta có:
\( \frac{EB}{EC}=\frac{FC}{FB}\Rightarrow \frac{EB}{EB+EC}=\frac{FC}{FB+FC}\Rightarrow \frac{EB}{BC}=\frac{FC}{BC} \)
\( \Rightarrow EB=FC\Rightarrow IE=IF \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!