Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Qua I kẻ đường thẳng d1 cắt CA, AB tại M, N và đường thẳng d2 cắt cạnh CA, AB tại P, Q. Đường thẳng PN cắt cạnh BC tại E và đường thẳng QM cắt cạnh BC tại F. Chứng minh IE=IF

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Menelaus trong  \( \Delta ABC \) với cát tuyến MNI, ta có:

 \( \frac{IB}{IC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1\Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1 \).

Với cát tuyến PQI, ta có:

 \( \Rightarrow \frac{IC}{IB}.\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1 \)

 \( \Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}\Rightarrow \frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \)  (*)

Tương tự đối với cát tuyến NEP và QMF:

 \( \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=1 \) và  \( \frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC}=1 \)

 \( \Rightarrow \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \) kết hợp với (*), ta có:

 \( \frac{EB}{EC}=\frac{FC}{FB}\Rightarrow \frac{EB}{EB+EC}=\frac{FC}{FB+FC}\Rightarrow \frac{EB}{BC}=\frac{FC}{BC} \)

 \( \Rightarrow EB=FC\Rightarrow IE=IF \).