Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Qua I kẻ đường thẳng d1 cắt CA, AB tại M, N và đường thẳng d2 cắt cạnh CA, AB tại P, Q. Đường thẳng PN cắt cạnh BC tại E và đường thẳng QM cắt cạnh BC tại F. Chứng minh IE=IF

Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Qua I kẻ đường thẳng d1 cắt CA, AB tại M, N và đường thẳng d2 cắt cạnh CA, AB tại P, Q. Đường thẳng PN cắt cạnh BC tại E và đường thẳng QM cắt cạnh BC tại F. Chứng minh \( IE=IF \).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Menelaus trong  \( \Delta ABC \) với cát tuyến MNI, ta có:

 \( \frac{IB}{IC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1\Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=1 \).

Với cát tuyến PQI, ta có:

 \( \Rightarrow \frac{IC}{IB}.\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}=1 \)

 \( \Rightarrow \frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{PA}{PC}\Rightarrow \frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \)  (*)

Tương tự đối với cát tuyến NEP và QMF:

 \( \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=1 \) và  \( \frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC}=1 \)

 \( \Rightarrow \frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PA}.\frac{NA}{NB}=\frac{FC}{FB}.\frac{QB}{QA}.\frac{MA}{MC} \) kết hợp với (*), ta có:

 \( \frac{EB}{EC}=\frac{FC}{FB}\Rightarrow \frac{EB}{EB+EC}=\frac{FC}{FB+FC}\Rightarrow \frac{EB}{BC}=\frac{FC}{BC} \)

 \( \Rightarrow EB=FC\Rightarrow IE=IF \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *