Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E là điểm trên cung BDC⌢, F trên cạnh BC thỏa mãn BAFˆ=CAEˆ<12BACˆ, gọi G là trung điểm IF

Hướng dẫn giải:

Gọi P là giao điểm của EI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng AI cắt BC tại J; AF cắt đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC \) tại K, cắt DP tại Q.

Theo giả thiết  \( \widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC}\Rightarrow \overset\frown{CE}=\overset\frown{BK}\Rightarrow CE=BK\Rightarrow BC\parallel KE \);

AD là phân giác góc  \( \widehat{A}\Rightarrow \widehat{KAD}=\widehat{DPE} \).

 \( \Rightarrow APQI \) nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{AQI}=\widehat{API}=\widehat{AKE}\Rightarrow QI\parallel KE\Rightarrow QI\parallel KE\parallel BC \).

 \( \Rightarrow \frac{QF}{QA}=\frac{IJ}{IA} \), AI cắt BC tại J, I là tâm đường tròn nội tiếp  \( \Rightarrow \frac{JI}{IA}=\frac{CJ}{CA} \);

 \( \widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow \Delta DCJ\backsim \Delta DAC \) (g.g).

 \( \Rightarrow \frac{CJ}{AC}=\frac{DC}{DA} \), kết hợp  \( DI=DC\Rightarrow \frac{DC}{DA}=\frac{ID}{AD} \).

 \( \frac{FQ}{QA}=\frac{JI}{AI}=\frac{CJ}{AC}=\frac{DC}{AD}=\frac{ID}{AD} \)   (*)

Theo Menelaus với  \( \Delta AIF \) cát tuyến PQD, giả sử PQD cắt FI tại G’, ta có:  \( \frac{QA}{QF}.\frac{{G}’F}{{G}’I}.\frac{DI}{DA}=1 \), kết hợp  \( (*)\Rightarrow \frac{{G}’F}{{G}’I}=1\Rightarrow {G}’F={G}’I\Rightarrow G\equiv {G}’ \).

 \( \Rightarrow DG \) và EI cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC \).