Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F nằm trên đường tròn. AE cắt DF tại M, BE cắt CF tại I và AC cắt BD tại N. Chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F nằm trên đường tròn. AE cắt DF tại M, BE cắt CF tại I và AC cắt BD tại N. Chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Lời giải:

Giả sử đường thẳng AE cắt đường thẳng CF và BD lần lượt tại P, Q. Đường thẳng BD cắt CF tại G. Áp dụng định lí Menelaus trong  \( \Delta PQG \) với các cát tuyến MFD, IEB, NAC ta có:

 \( \frac{FP}{FG}.\frac{DG}{DQ}.\frac{MQ}{MP}=1\Rightarrow \frac{MQ}{MP}=\frac{FG}{FP}.\frac{DQ}{DG} \).

 \( \frac{BG}{BQ}.\frac{EQ}{EP}.\frac{IP}{IG}=1\Rightarrow \frac{IP}{IG}.\frac{BQ}{BG}.\frac{EP}{EQ} \) và  \( \frac{NG}{NQ}.\frac{AQ}{AP}.\frac{CP}{CG}=1\Rightarrow \frac{NG}{NQ}=\frac{AP}{AQ}.\frac{CG}{CP} \).

Nhân ba đẳng thức với nhau, ta có:

 \( \frac{MQ}{MP}.\frac{IP}{IG}.\frac{NG}{NQ}=\frac{FG}{FP}.\frac{DQ}{DG}.\frac{BQ}{BG}.\frac{EP}{EQ}.\frac{AP}{AQ}.\frac{CG}{CP} \)  (*)

Mặt khác, cát tuyến AE, CF cắt nhau tại P  \( \Rightarrow PA.PE=PC.PF \);

Tương tự  \( QD.QB=QE.QA \) và  \( GF.GC=GD.GB \), thay vào đẳng thức (*)

 \( \Rightarrow \frac{MQ}{MP}.\frac{IP}{IG}.\frac{NG}{NQ}=1\Rightarrow M,I,N \) thẳng hàng.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *