Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ thẳng hàng. (Định lí Desargues)

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N, P lần lượt là các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’.

Phần thuận: Giả sử AA’, BB’ và CC’ cắt nhau tại Q, theo định lí Menelaus với  \( \Delta QAB \) cát tuyến NB’A’

 \( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{{B}’B}{{B}’Q}.\frac{{A}’Q}{{A}’A}=1 \).

Tương tự với  \( \Delta QBC \) và  \( \Delta QAC \), ta có:  \( \frac{MB}{MC}.\frac{{C}’C}{{C}’Q}.\frac{{B}’Q}{{B}’B}=1,\text{ }\frac{PC}{PA}.\frac{{A}’A}{{A}’Q}.\frac{{C}’Q}{{C}’C}=1 \).

Nhân ba đẳng thức với nhau  \( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{MB}{MC}.\frac{PC}{PA}=1\Rightarrow M,N,P \) thẳng hàng.

Phần đảo: Giả sử AA’ và CC’ cắt nhau tại Q, áp dụng định lí Menelaus đối với các  \( \Delta C{C}’P,\text{ }\Delta CPM,\text{ }\Delta MP{C}’ \), ta có:

 \( \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{AC}{AP}.\frac{{A}’P}{{A}'{C}’}=1,\text{ }\frac{BC}{BM}.\frac{NM}{NP}.\frac{AP}{AC}=1,\text{ }\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}.\frac{{A}'{C}’}{{A}’P}.\frac{NP}{NM}=1 \).

Nhân ba đẳng thức với nhau  \( \Rightarrow \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{BC}{BM}.\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}=1 \), với  \( \Delta MC{C}’\Rightarrow Q,B,{B}’ \) thẳng hàng  \( \Rightarrow A{A}’,C{C}’ \) và  \( B{B}’ \) đồng quy.