Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ thẳng hàng. (Định lí Desargues)
Girard Desargues (1591 – 1661) là nhà toán học người Pháp được tôn vinh là “ông tổ của hình học xạ ảnh” nhưng ông lại theo học kĩ sư quân giới.
Hướng dẫn giải:
Gọi M, N, P lần lượt là các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’.
Phần thuận: Giả sử AA’, BB’ và CC’ cắt nhau tại Q, theo định lí Menelaus với \( \Delta QAB \) cát tuyến NB’A’
\( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{{B}’B}{{B}’Q}.\frac{{A}’Q}{{A}’A}=1 \).
Tương tự với \( \Delta QBC \) và \( \Delta QAC \), ta có: \( \frac{MB}{MC}.\frac{{C}’C}{{C}’Q}.\frac{{B}’Q}{{B}’B}=1,\text{ }\frac{PC}{PA}.\frac{{A}’A}{{A}’Q}.\frac{{C}’Q}{{C}’C}=1 \).
Nhân ba đẳng thức với nhau \( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{MB}{MC}.\frac{PC}{PA}=1\Rightarrow M,N,P \) thẳng hàng.
Phần đảo: Giả sử AA’ và CC’ cắt nhau tại Q, áp dụng định lí Menelaus đối với các \( \Delta C{C}’P,\text{ }\Delta CPM,\text{ }\Delta MP{C}’ \), ta có:
\( \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{AC}{AP}.\frac{{A}’P}{{A}'{C}’}=1,\text{ }\frac{BC}{BM}.\frac{NM}{NP}.\frac{AP}{AC}=1,\text{ }\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}.\frac{{A}'{C}’}{{A}’P}.\frac{NP}{NM}=1 \).
Nhân ba đẳng thức với nhau \( \Rightarrow \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{BC}{BM}.\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}=1 \), với \( \Delta MC{C}’\Rightarrow Q,B,{B}’ \) thẳng hàng \( \Rightarrow A{A}’,C{C}’ \) và \( B{B}’ \) đồng quy.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!