Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ thẳng hàng. (Định lí Desargues)

Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ thẳng hàng. (Định lí Desargues)

Girard Desargues (1591 – 1661) là nhà toán học người Pháp được tôn vinh là “ông tổ của hình học xạ ảnh” nhưng ông lại theo học kĩ sư quân giới.

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N, P lần lượt là các giao điểm của BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’.

Phần thuận: Giả sử AA’, BB’ và CC’ cắt nhau tại Q, theo định lí Menelaus với  \( \Delta QAB \) cát tuyến NB’A’

 \( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{{B}’B}{{B}’Q}.\frac{{A}’Q}{{A}’A}=1 \).

Tương tự với  \( \Delta QBC \) và  \( \Delta QAC \), ta có:  \( \frac{MB}{MC}.\frac{{C}’C}{{C}’Q}.\frac{{B}’Q}{{B}’B}=1,\text{ }\frac{PC}{PA}.\frac{{A}’A}{{A}’Q}.\frac{{C}’Q}{{C}’C}=1 \).

Nhân ba đẳng thức với nhau  \( \Rightarrow \frac{NA}{NB}.\frac{MB}{MC}.\frac{PC}{PA}=1\Rightarrow M,N,P \) thẳng hàng.

Phần đảo: Giả sử AA’ và CC’ cắt nhau tại Q, áp dụng định lí Menelaus đối với các  \( \Delta C{C}’P,\text{ }\Delta CPM,\text{ }\Delta MP{C}’ \), ta có:

 \( \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{AC}{AP}.\frac{{A}’P}{{A}'{C}’}=1,\text{ }\frac{BC}{BM}.\frac{NM}{NP}.\frac{AP}{AC}=1,\text{ }\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}.\frac{{A}'{C}’}{{A}’P}.\frac{NP}{NM}=1 \).

Nhân ba đẳng thức với nhau  \( \Rightarrow \frac{Q{C}’}{QC}.\frac{BC}{BM}.\frac{{B}’M}{{B}'{C}’}=1 \), với  \( \Delta MC{C}’\Rightarrow Q,B,{B}’ \) thẳng hàng  \( \Rightarrow A{A}’,C{C}’ \) và  \( B{B}’ \) đồng quy.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *