Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và B là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC

Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và B là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải:

Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC, đường thẳng BM, CN cắt d tại E và F, gọi H là giao điểm của AP và BC. Theo định lí Thales, ta có:

 \( \frac{HC}{HB}=\frac{AF}{AE},\text{ }\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{BC}\Rightarrow AM=\frac{AE.CM}{BC},\text{ }\frac{AN}{BN}=\frac{AF}{BC}\Rightarrow AN=\frac{AF.BN}{BC} \);

 \( DM\bot AC,\text{ }DN\bot AB,\text{ }\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AND\Rightarrow AN=AM \).

 \( \Rightarrow AE.CM=AF.BN\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{AF}{AE}\Rightarrow \frac{HC}{HB}=\frac{CM}{BN} \)  (*)

Kẻ  \( AK\bot BC\Rightarrow \Delta DMC \) và  \( \Delta AKC \) là hai tam giác vuông có góc  \( \widehat{C} \) chung.

 \( \Rightarrow \Delta DMC\backsim \Delta AKC\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{CM}{CK} \), tương tự  \( \frac{BD}{AB}=\frac{BN}{BK} \).

AD là phân giác  \( \Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{CM}{CK}=\frac{BN}{BK}\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{CK}{BK} \), kết hợp (*)

 \( \Rightarrow K\equiv H\Rightarrow AP\bot BC \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *