Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và B là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC

Hướng dẫn giải:

Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC, đường thẳng BM, CN cắt d tại E và F, gọi H là giao điểm của AP và BC. Theo định lí Thales, ta có:

 \( \frac{HC}{HB}=\frac{AF}{AE},\text{ }\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{BC}\Rightarrow AM=\frac{AE.CM}{BC},\text{ }\frac{AN}{BN}=\frac{AF}{BC}\Rightarrow AN=\frac{AF.BN}{BC} \);

 \( DM\bot AC,\text{ }DN\bot AB,\text{ }\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AND\Rightarrow AN=AM \).

 \( \Rightarrow AE.CM=AF.BN\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{AF}{AE}\Rightarrow \frac{HC}{HB}=\frac{CM}{BN} \)  (*)

Kẻ  \( AK\bot BC\Rightarrow \Delta DMC \) và  \( \Delta AKC \) là hai tam giác vuông có góc  \( \widehat{C} \) chung.

 \( \Rightarrow \Delta DMC\backsim \Delta AKC\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{CM}{CK} \), tương tự  \( \frac{BD}{AB}=\frac{BN}{BK} \).

AD là phân giác  \( \Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{CM}{CK}=\frac{BN}{BK}\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{CK}{BK} \), kết hợp (*)

 \( \Rightarrow K\equiv H\Rightarrow AP\bot BC \).