Cho bộ ba điểm thẳng hàng theo thứ tự (A1,A2,A3) và (B1,B2,B3) thỏa mãn A1A2/A1A3=B1B2/B1B3=k. Trên A1B1,A2B2,A3B3 lần lượt lấy các điểm C1,C2,C3 thỏa mãn C1A1/C1B1=C2A2C2B2=C3A3C3B3

Hướng dẫn giải:

Từ C₁ kẻ đường thẳng song song với A₁A₃ trên đó lấy các điểm  M, N sao cho A₂M và A₃N song song với A₁C₁, tương tự  \( {{B}_{1}}{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}Q \) và  \( P{{B}_{2}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \),  \( Q{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \).

 \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}M{{A}_{2}} \) là hình bình hành  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}={{C}_{1}}M \) và  \( {{A}_{1}}{{A}_{3}}={{C}_{1}}N \).

 \( \Rightarrow \frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=k \);

Hoàn toàn tương tự  \( \frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}{{B}_{3}}}=k \)

 \( \Rightarrow \frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=\frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}\Rightarrow MP\parallel NQ \);

Với cách dựng trên  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{2}}M={{A}_{3}}N \) và  \( {{B}_{1}}{{C}_{1}}={{B}_{2}}P={{B}_{3}}Q \),  \( {{A}_{2}}M\parallel {{B}_{2}}P \).

Kết hợp giả thiết \(\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}M}{{{B}_{2}}P}=\frac{{{C}_{2}}{{A}_{2}}}{{{C}_{2}}{{B}_{2}}},\text{ }\widehat{{{C}_{2}}{{A}_{2}}M}=\widehat{{{C}_{2}}{{B}_{2}}P}\Rightarrow \Delta M{{A}_{2}}{{C}_{2}}\backsim \Delta P{{B}_{2}}{{C}_{2}}\).

 \( \Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}{{C}_{2}}M}=\widehat{{{B}_{2}}{{C}_{2}}P}\Rightarrow M,{{C}_{2}},P \) thẳng hàng.

Hoàn toàn tương tự  \( \Rightarrow \frac{{{A}_{3}}N}{{{B}_{3}}Q}=\frac{{{A}_{3}}{{C}_{3}}}{{{B}_{3}}{{C}_{3}}}\Rightarrow N,{{C}_{3}},Q \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{2}}M}{{{C}_{2}}P}=\frac{{{C}_{3}}N}{{{C}_{3}}Q} \)

 \( \Rightarrow {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}{{C}_{3}}}=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=k \).