Cho bộ ba điểm thẳng hàng theo thứ tự (A1,A2,A3) và (B1,B2,B3) thỏa mãn A1A2/A1A3=B1B2/B1B3=k. Trên A1B1,A2B2,A3B3 lần lượt lấy các điểm C1,C2,C3 thỏa mãn C1A1/C1B1=C2A2C2B2=C3A3C3B3

Cho bộ ba điểm thẳng hàng theo thứ tự \( ({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}) \) và  \( ({{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}}) \) thỏa mãn  \( \frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}{{B}_{3}}}=k \). Trên  \( {{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},{{A}_{3}}{{B}_{3}} \) lần lượt lấy các điểm  \( {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thỏa mãn  \( \frac{{{C}_{1}}{{A}_{1}}}{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{{{C}_{2}}{{A}_{2}}}{{{C}_{2}}{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{3}}{{A}_{3}}}{{{C}_{3}}{{B}_{3}}} \). Chứng minh rằng  \( {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}{{C}_{3}}}=k \).

Hướng dẫn giải:

Từ C1 kẻ đường thẳng song song với A1A3 trên đó lấy các điểm  M, N sao cho A2M và A3N song song với A1C1, tương tự  \( {{B}_{1}}{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}Q \) và  \( P{{B}_{2}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \),  \( Q{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \).

 \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}M{{A}_{2}} \) là hình bình hành  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}={{C}_{1}}M \) và  \( {{A}_{1}}{{A}_{3}}={{C}_{1}}N \).

 \( \Rightarrow \frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=k \);

Hoàn toàn tương tự  \( \frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}{{B}_{3}}}=k \)

 \( \Rightarrow \frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=\frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}\Rightarrow MP\parallel NQ \);

Với cách dựng trên  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{2}}M={{A}_{3}}N \) và  \( {{B}_{1}}{{C}_{1}}={{B}_{2}}P={{B}_{3}}Q \),  \( {{A}_{2}}M\parallel {{B}_{2}}P \).

Kết hợp giả thiết \(\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}M}{{{B}_{2}}P}=\frac{{{C}_{2}}{{A}_{2}}}{{{C}_{2}}{{B}_{2}}},\text{ }\widehat{{{C}_{2}}{{A}_{2}}M}=\widehat{{{C}_{2}}{{B}_{2}}P}\Rightarrow \Delta M{{A}_{2}}{{C}_{2}}\backsim \Delta P{{B}_{2}}{{C}_{2}}\).

 \( \Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}{{C}_{2}}M}=\widehat{{{B}_{2}}{{C}_{2}}P}\Rightarrow M,{{C}_{2}},P \) thẳng hàng.

Hoàn toàn tương tự  \( \Rightarrow \frac{{{A}_{3}}N}{{{B}_{3}}Q}=\frac{{{A}_{3}}{{C}_{3}}}{{{B}_{3}}{{C}_{3}}}\Rightarrow N,{{C}_{3}},Q \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{2}}M}{{{C}_{2}}P}=\frac{{{C}_{3}}N}{{{C}_{3}}Q} \)

 \( \Rightarrow {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}{{C}_{3}}}=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=k \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *