Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M, N là trung điểm của BD và AC, H là điểm đối xứng của O qua MN, đường thẳng qua H và song song với MN cắt AD, BC, BD, AC lần lượt tại P, Q, E, F. Chứng minh rằng PE=QF

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M, N là trung điểm của BD và AC, H là điểm đối xứng của O qua MN, đường thẳng qua H và song song với MN cắt AD, BC, BD, AC lần lượt tại P, Q, E, F. Chứng minh rằng \( PE=QF \).

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết H đối xứng với O qua MN  \( \Rightarrow OM=ME \) và  \( MB=MD \)  \( \Rightarrow OB=ED \), tương tự  \( FC=OA \);

Qua O kẻ  \( IJ\parallel MN \), theo định lí Thales  \( \Rightarrow \frac{PE}{OI}=\frac{DE}{DO}=\frac{OB}{DO}\Rightarrow PE=\frac{OB.OI}{DO} \).

Tương tự  \( QF=\frac{OA.OJ}{CO} \);

MN cắt AD và BC tại K và G.

 \( \Rightarrow \frac{KM}{IO}=\frac{DM}{DO}=\frac{BD}{2DO},\text{ }\frac{KN}{IO}=\frac{AN}{AO}=\frac{AC}{2AO} \).

Trừ  hai đẳng thức  \( \Rightarrow \frac{MN}{IO}=\frac{1}{2}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right) \).

Tương tự  \( \frac{MN}{JO}=\frac{1}{2}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right) \).

Để chứng minh  \( PE=QF\Leftrightarrow \frac{OB.OI}{DO}=\frac{OA.OJ}{CO}\Leftrightarrow \frac{OB.MN}{DO.OJ}=\frac{OA.MN}{CO.OI} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{OB}{DO}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right)=\frac{OA}{CO}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right)\Leftrightarrow \frac{BD}{DO}-\frac{OB.AC}{DO.CO}=\frac{AC}{CO}-\frac{OA.BD}{CO.DO} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{BD}{DO}+\frac{OA.BD}{CO.DO}=\frac{AC}{CO}+\frac{OB.AC}{DO.CO} \), hai vế cho kết quả  \( \frac{AC.BD}{DO.CO} \).

Ví dụ này ngoài vận dụng định lí Thales còn đòi hỏi biến đổi và kẻ thêm hình.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *