Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác của tam giác, M là điểm thay đổi trên AD, P và Q là hình chiếu của M trên AB và AC, I là trung điểm BC, H là hình chiếu của I trên PQ. Chứng minh rằng MH luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên AD.
Hướng dẫn giải:
AD cắt đường tròn (O) tại E \( \Rightarrow EC=EB \)
\( \Rightarrow EI \) là đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn (O) cố định, đường kính này cắt (O) tại F.
\( \Rightarrow F \) là điểm cố định.
Giả sử MF cắt PQ tại J. Theo giả thiết ta có \( \widehat{PAM}=\widehat{QAM} \), \(MP\bot AB,\text{ }MQ\bot AC\)
\( \Rightarrow AM\bot PQ \).
Gọi K là giao điểm AM và PQ, EF là đường kính.
\( \Rightarrow \widehat{ECF}={{90}^{O}},\widehat{EFC}=\widehat{EAC} \) (chắn cung \( \overset\frown{CE} \))
\( \Rightarrow \Delta AQM\backsim \Delta FCE \) (g.g) \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{AK}{KM} \) (1)
Mặt khác EF là đường kính nên \( AE\bot AF\Rightarrow AF\parallel PQ\Rightarrow \frac{AK}{KM}=\frac{FJ}{JM} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{FJ}{JM} \), theo định lí Thales đảo \( \Rightarrow IJ\parallel AD \).
\( \Rightarrow IJ\bot PQ\Rightarrow J\equiv H\Rightarrow MH \) luôn đi qua F là điểm cố định.
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!