Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác của tam giác, M là điểm thay đổi trên AD, P và Q là hình chiếu của M trên AB và AC, I là trung điểm BC, H là hình chiếu của I trên PQ

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác của tam giác, M là điểm thay đổi trên AD, P và Q là hình chiếu của M trên AB và AC, I là trung điểm BC, H là hình chiếu của I trên PQ. Chứng minh rằng MH luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên AD.

Hướng dẫn giải:

AD cắt đường tròn (O) tại E  \( \Rightarrow EC=EB \)

 \( \Rightarrow EI \) là đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn (O) cố định, đường kính này cắt (O) tại F.

 \( \Rightarrow F \) là điểm cố định.

Giả sử MF cắt PQ tại J. Theo giả thiết ta có  \( \widehat{PAM}=\widehat{QAM} \), \(MP\bot AB,\text{ }MQ\bot AC\)

 \( \Rightarrow AM\bot PQ \).

Gọi K là giao điểm AM và PQ, EF là đường kính.

 \( \Rightarrow \widehat{ECF}={{90}^{O}},\widehat{EFC}=\widehat{EAC} \) (chắn cung  \( \overset\frown{CE} \))

 \( \Rightarrow \Delta AQM\backsim \Delta FCE \) (g.g) \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{AK}{KM} \)  (1)

Mặt khác EF là đường kính nên  \( AE\bot AF\Rightarrow AF\parallel PQ\Rightarrow \frac{AK}{KM}=\frac{FJ}{JM} \)  (2)

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{FJ}{JM} \), theo định lí Thales đảo  \( \Rightarrow IJ\parallel AD \).

 \( \Rightarrow IJ\bot PQ\Rightarrow J\equiv H\Rightarrow MH \) luôn đi qua F là điểm cố định.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *