Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng MA.BC<MB.CA+MC.AB

Hướng dẫn giải:

Từ M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại D và E  \( \Rightarrow  \) Tứ giác AEMD là hình bình hành  \( \Rightarrow MD=AE \).

Theo định lí Thales  \( \frac{MB}{BC}=\frac{ME}{CA}\Rightarrow MB=\frac{BC.ME}{CA} \), tương tự  \( MC=\frac{BC.MD}{AB} \).

Thay MB và MC vào biểu thức  \( MB.CA+MC.AB \), ta có:

 \( MB.CA+MC.AB=\frac{BC.ME}{CA}.CA+\frac{BC.MD}{AB}.AB=BC(ME+MD)=BC(ME+AE) \)

 \( ME+AE>MA\Rightarrow MB.CA+MC.AB>BC.MA \).