Cho tứ giác ABCD, AB không song song với CD. Đường tròn (C1) qua A, B và tiếp xúc với CD tại P, đường tròn (C2) qua C, D và tiếp xúc với AB tại Q, (C1) và (C2) cắt nhau tại E và F

Cho tứ giác ABCD, AB không song song với CD. Đường tròn (C1) qua A, B và tiếp xúc với CD tại P, đường tròn (C2) qua C, D và tiếp xúc với AB tại Q, (C1) và (C2) cắt nhau tại E và F. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi BC song song với AD.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là giao điểm của EF và PQ, đường thẳng PQ cắt đường tròn (C1) và đường tròn (C2) thứ tự tại K và G.

Theo giả thiết AB không song song với CD nên AB và CD giao nhau, gọi giao điểm là M.

Theo hệ thức đường tròn  \( \Rightarrow M{{P}^{2}}=MA.MB \) và  \( M{{Q}^{2}}=MC.MD \)  (1)

Mặt khác, ta có:  \( IE.IF=IP.IK=IQ.IG\Rightarrow IP(IQ+QK)=IQ(IP+PG) \)

 \( \Rightarrow IP.QK=IQ.PG\Rightarrow IP=IQ\Leftrightarrow QK=PG\Leftrightarrow PQ.QK=PQ.PG \)

 \( \Leftrightarrow QA.QB=PD.PC \)  (2)

Ta có:  \( AQ=MQ-MA,\text{ }QB=MB-MQ,DP=MP-MD \) và  \( PC=MC-MP \).

Từ (2) và kết hợp (1) suy ra:  \( (MB-MQ)(MQ-MA)=(MP-MD)(MC-MP) \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ-MQ.MB-M{{Q}^{2}}+MQ.MA=MP.MC-M{{P}^{2}}-MD.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ+MQ.MA=MP.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MQ(MB+MA)=MP(MC+MD)\Leftrightarrow M{{Q}^{2}}{{(MB+MA)}^{2}}=M{{P}^{2}}{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow MD.MC{{(MA+MB)}^{2}}=MA.MB{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(MA.MC-MD.MB)}^{2}}=0\Leftrightarrow MA.MC=MD.MB\Leftrightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}\Leftrightarrow BC\parallel AD \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *