Cho tứ giác ABCD, AB không song song với CD. Đường tròn (C1) qua A, B và tiếp xúc với CD tại P, đường tròn (C2) qua C, D và tiếp xúc với AB tại Q, (C1) và (C2) cắt nhau tại E và F

Hướng dẫn giải:

Gọi I là giao điểm của EF và PQ, đường thẳng PQ cắt đường tròn (C₁) và đường tròn (C₂) thứ tự tại K và G.

Theo giả thiết AB không song song với CD nên AB và CD giao nhau, gọi giao điểm là M.

Theo hệ thức đường tròn  \( \Rightarrow M{{P}^{2}}=MA.MB \) và  \( M{{Q}^{2}}=MC.MD \)  (1)

Mặt khác, ta có:  \( IE.IF=IP.IK=IQ.IG\Rightarrow IP(IQ+QK)=IQ(IP+PG) \)

 \( \Rightarrow IP.QK=IQ.PG\Rightarrow IP=IQ\Leftrightarrow QK=PG\Leftrightarrow PQ.QK=PQ.PG \)

 \( \Leftrightarrow QA.QB=PD.PC \)  (2)

Ta có:  \( AQ=MQ-MA,\text{ }QB=MB-MQ,DP=MP-MD \) và  \( PC=MC-MP \).

Từ (2) và kết hợp (1) suy ra:  \( (MB-MQ)(MQ-MA)=(MP-MD)(MC-MP) \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ-MQ.MB-M{{Q}^{2}}+MQ.MA=MP.MC-M{{P}^{2}}-MD.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ+MQ.MA=MP.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MQ(MB+MA)=MP(MC+MD)\Leftrightarrow M{{Q}^{2}}{{(MB+MA)}^{2}}=M{{P}^{2}}{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow MD.MC{{(MA+MB)}^{2}}=MA.MB{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(MA.MC-MD.MB)}^{2}}=0\Leftrightarrow MA.MC=MD.MB\Leftrightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}\Leftrightarrow BC\parallel AD \).