Cho tam giác nhọn ABC, gọi (O1), (O2) là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ứng với góc Bˆ và Cˆ. Đường tròn (O1) tiếp xúc với cạnh BC, AB, CA tại M, N, E đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tại P, Q, F; đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại D

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết đường tròn (O₁) tiếp xúc AC tại E, AB tại N suy ra  \( {{O}_{1}}N\bot AB \),  \( {{O}_{1}}E\bot AC \) \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{1}}AE} \);

Đường tròn (O₂) tiếp xúc AB tại F và AC tại Q suy ra  \( {{O}_{2}}Q\bot AC \),  \( {{O}_{2}}F\bot AB \).

 \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{2}}AQ}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow {{O}_{1}},A,{{O}_{2}} \) thẳng hàng.

 \( \Rightarrow \Delta {{O}_{2}}QA\backsim \Delta {{O}_{1}}NA \) (g.g)  \( \Rightarrow \frac{AN}{AQ}=\frac{{{O}_{1}}A}{{{O}_{2}}A} \) (1)

Theo giả thiết  \( {{O}_{1}}M\bot BC,\text{ }{{O}_{2}}P\bot BC \).

 \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{S}_{DPH}}}{{{S}_{MDH}}}=\frac{DP\sin \widehat{PDH}}{DM\sin \widehat{MDH}} \).

Mặt khác, áp dụng định lí sin cho  \( \Delta ABC \):

 \( \frac{DP}{DM}=\frac{\sin \widehat{DMP}}{\sin \widehat{DPM}}=\frac{\cos \widehat{{{O}_{1}}MN}}{\cos \widehat{{{O}_{2}}PQ}}=\frac{\sin \widehat{MNA}}{\sin \widehat{PQA}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{DQA}} \).

Áp dụng tiếp định lí sin cho  \( \Delta DNA \) và  \( \Delta DQA \), ta được:

 \( \frac{PH}{MH}=\frac{\sin \widehat{DNA}\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}\sin \widehat{MDH}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{MDH}}.\frac{\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}} \)

 \( =\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{NDA}}.\frac{\sin \widehat{QDA}}{\sin \widehat{DQA}}=\frac{DA}{AN}.\frac{AQ}{DA}=\frac{AQ}{AN} \).

Kết hợp (1)  \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{O}_{2}}A}{{{O}_{1}}A}\Rightarrow {{O}_{2}}P\parallel DH\parallel {{O}_{1}}M\Rightarrow DH\bot BC \).