Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M, N là trung điểm của BD và AC, H là điểm đối xứng của O qua MN, đường thẳng qua H và song song với MN cắt AD, BC, BD, AC lần lượt tại P, Q, E, F. Chứng minh rằng PE=QF

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết H đối xứng với O qua MN  \( \Rightarrow OM=ME \) và  \( MB=MD \)  \( \Rightarrow OB=ED \), tương tự  \( FC=OA \);

Qua O kẻ  \( IJ\parallel MN \), theo định lí Thales  \( \Rightarrow \frac{PE}{OI}=\frac{DE}{DO}=\frac{OB}{DO}\Rightarrow PE=\frac{OB.OI}{DO} \).

Tương tự  \( QF=\frac{OA.OJ}{CO} \);

MN cắt AD và BC tại K và G.

 \( \Rightarrow \frac{KM}{IO}=\frac{DM}{DO}=\frac{BD}{2DO},\text{ }\frac{KN}{IO}=\frac{AN}{AO}=\frac{AC}{2AO} \).

Trừ  hai đẳng thức  \( \Rightarrow \frac{MN}{IO}=\frac{1}{2}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right) \).

Tương tự  \( \frac{MN}{JO}=\frac{1}{2}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right) \).

Để chứng minh  \( PE=QF\Leftrightarrow \frac{OB.OI}{DO}=\frac{OA.OJ}{CO}\Leftrightarrow \frac{OB.MN}{DO.OJ}=\frac{OA.MN}{CO.OI} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{OB}{DO}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right)=\frac{OA}{CO}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right)\Leftrightarrow \frac{BD}{DO}-\frac{OB.AC}{DO.CO}=\frac{AC}{CO}-\frac{OA.BD}{CO.DO} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{BD}{DO}+\frac{OA.BD}{CO.DO}=\frac{AC}{CO}+\frac{OB.AC}{DO.CO} \), hai vế cho kết quả  \( \frac{AC.BD}{DO.CO} \).

Ví dụ này ngoài vận dụng định lí Thales còn đòi hỏi biến đổi và kẻ thêm hình.