Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng √3a/3

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. \( V=\frac{1}{2}{{a}^{3}} \)

B.  \( V={{a}^{3}} \)     

C.  \( V=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)                                      

D.  \( V=\frac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi  \( O=AC\cap BD  \), gọi H là hình chiếu của A lên SO.

Vì O là trung điểm của AC nên  \( {{d}_{\left( C,(SBD) \right)}}={{d}_{\left( A,(SBD) \right)}} \)

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& BD\bot AC \\ & BD\bot SA \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow (SBD)\bot (SAC) \)

 \( SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right) \)

 \( AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right) \)

 \( \Rightarrow AH={{d}_{\left( A,(SBD) \right)}}={{d}_{\left( C,(SBD) \right)}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a  \)

Ta có:  \( AO=\frac{\sqrt{2}}{2}a  \)

Trong tam giác SAO vuông tại A:  \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow SA=a  \)

Vậy  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *