Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE

Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE.

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{27}\)                             

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{27}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi F là trung điểm SE  \( \Rightarrow BD\bot DF  \)

Gọi AB = x.

Ta có:  \( B{{E}^{2}}=B{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}=\frac{2A{{S}^{2}}+2A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}{4}\) \( =\frac{2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( B{{F}^{2}}=\frac{2B{{S}^{2}}+2B{{E}^{2}}-S{{E}^{2}}}{4} \) \( =\frac{2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{4}{{a}^{2}}}{4}=\frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16} \)

 \( B{{F}^{2}}=B{{D}^{2}}+D{{F}^{2}}\Leftrightarrow B{{F}^{2}}=\frac{5B{{D}^{2}}}{4} \) \( \Leftrightarrow \frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16}=\frac{5}{4}.\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}=5{{a}^{2}}+10{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=6{{x}^{2}} \) \( \Rightarrow x=a\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC  \)

 \( \Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{3} \)

Tam giác ABC đều có cạnh là x \( \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6} \)

Vậy  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)

Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác ABC đều có cạnh bên bằng a, cạnh đáy bằng x.

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{12}=\frac{\frac{2{{a}^{2}}}{3}\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{2{{a}^{2}}}{3}}}{12}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *