Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi F là trung điểm SE  \( \Rightarrow BD\bot DF  \)

Gọi AB = x.

Ta có:  \( B{{E}^{2}}=B{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}=\frac{2A{{S}^{2}}+2A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}{4}\) \( =\frac{2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( B{{F}^{2}}=\frac{2B{{S}^{2}}+2B{{E}^{2}}-S{{E}^{2}}}{4} \) \( =\frac{2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{4}{{a}^{2}}}{4}=\frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16} \)

 \( B{{F}^{2}}=B{{D}^{2}}+D{{F}^{2}}\Leftrightarrow B{{F}^{2}}=\frac{5B{{D}^{2}}}{4} \) \( \Leftrightarrow \frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16}=\frac{5}{4}.\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}=5{{a}^{2}}+10{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=6{{x}^{2}} \) \( \Rightarrow x=a\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC  \)

 \( \Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{3} \)

Tam giác ABC đều có cạnh là x \( \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6} \)

Vậy  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)

Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác ABC đều có cạnh bên bằng a, cạnh đáy bằng x.

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{12}=\frac{\frac{2{{a}^{2}}}{3}\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{2{{a}^{2}}}{3}}}{12}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)