Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên  \( \left[ 2;4 \right] \) và  \( {f}'(x)>0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \). Biết  \( 4{{x}^{3}}f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}}-{{x}^{3}},\text{ }\forall x\in \left[ 2;4 \right]\), \( f(2)=\frac{7}{4} \). Giá trị của \( f(4)\) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {f}'(x)>0,\text{ }\forall x\in \left[ 2;4 \right] \) nên hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ 2;4 \right]\Rightarrow f(x)\ge f(2) \) mà  \( f(2)=\frac{7}{4} \).

Do đó:  \( f(x)>0,\forall x\in \left[ 2;4 \right] \).

Từ giả thiết ta có:  \( 4{{x}^{3}}f(x)={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 4f(x)+1 \right]={{\left[ {f}'(x) \right]}^{3}} \)

 \( \Leftrightarrow x.\sqrt[3]{4f(x)+1}={f}'(x)\Leftrightarrow \frac{{f}'(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x  \).

Suy ra:  \( \int{\frac{{f}'(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}dx}=\int{xdx}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\int{\frac{d\left( 4f(x)+1 \right)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C  \)

 \( \Leftrightarrow \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{\left[ 4f(x)+1 \right]}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C  \).

 \( f(2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow \frac{3}{2}=2+C\Leftrightarrow C=-\frac{1}{2} \).

Vậy:  \( f(x)=\frac{\sqrt{{{\left[ \frac{4}{3}({{x}^{2}}-1) \right]}^{3}}}-1}{4}\Rightarrow f(4)=\frac{40\sqrt{5}-1}{4} \).