Cho hàm số \(f(x)>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\), \(f(0)=1\) và \(f(x)=\sqrt{x+1}.{f}'(x)\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{f(x)}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx}\Leftrightarrow \ln \left( f(x) \right)=2\sqrt{x+1}+C\)

Mà  \( f(0)=1 \) nên  \( C=-2\Rightarrow f(x)={{e}^{2\sqrt{x+1}-2}}\Rightarrow f(3)={{e}^{2}}>6 \).