Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn \( f(x)+{f}'(x)=x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(0)=1\). Tính \( f(1) \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( f(x)+{f}'(x)=x  \)   (1)

Nhân 2 vế của (1) cho  \( {{e}^{x}} \) ta được:  \( {{e}^{x}}.f(x)+{{e}^{x}}.{f}'(x)=x.{{e}^{x}} \).

Hay  \( {{\left[ {{e}^{x}}.f(x) \right]}^{\prime }}=x.{{e}^{x}}\Rightarrow {{e}^{x}}.f(x)=\int{x.{{e}^{x}}dx} \).

Xét  \( I=\int{x.{{e}^{x}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & {{e}^{x}}dx=dv\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right.\).

 \( I=\int{x.{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C  \). Suy ra:  \( {{e}^{x}}f(x)=x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C  \).

Theo giả thiết  \( f(0)=1 \) nên  \( C=2\Rightarrow f(x)=\frac{x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+2}{{{e}^{x}}}\Rightarrow f(1)=\frac{2}{e} \).