Cho tam giác nhọn ABC, gọi (O1), (O2) là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ứng với góc Bˆ và Cˆ. Đường tròn (O1) tiếp xúc với cạnh BC, AB, CA tại M, N, E đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tại P, Q, F; đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại D

Cho tam giác nhọn ABC, gọi (O1), (O2) là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ứng với góc \( \widehat{B} \) và  \( \widehat{C} \). Đường tròn (O1) tiếp xúc với cạnh BC, AB, CA tại M, N, E đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh BC, AC, AB tại P, Q, F; đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết đường tròn (O1) tiếp xúc AC tại E, AB tại N suy ra  \( {{O}_{1}}N\bot AB \),  \( {{O}_{1}}E\bot AC \) \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{1}}AE} \);

Đường tròn (O2) tiếp xúc AB tại F và AC tại Q suy ra  \( {{O}_{2}}Q\bot AC \),  \( {{O}_{2}}F\bot AB \).

 \( \Rightarrow \widehat{{{O}_{2}}AQ}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow \widehat{{{O}_{1}}AN}=\widehat{{{O}_{2}}AF}\Rightarrow {{O}_{1}},A,{{O}_{2}} \) thẳng hàng.

 \( \Rightarrow \Delta {{O}_{2}}QA\backsim \Delta {{O}_{1}}NA \) (g.g)  \( \Rightarrow \frac{AN}{AQ}=\frac{{{O}_{1}}A}{{{O}_{2}}A} \) (1)

Theo giả thiết  \( {{O}_{1}}M\bot BC,\text{ }{{O}_{2}}P\bot BC \).

 \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{S}_{DPH}}}{{{S}_{MDH}}}=\frac{DP\sin \widehat{PDH}}{DM\sin \widehat{MDH}} \).

Mặt khác, áp dụng định lí sin cho  \( \Delta ABC \):

 \( \frac{DP}{DM}=\frac{\sin \widehat{DMP}}{\sin \widehat{DPM}}=\frac{\cos \widehat{{{O}_{1}}MN}}{\cos \widehat{{{O}_{2}}PQ}}=\frac{\sin \widehat{MNA}}{\sin \widehat{PQA}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{DQA}} \).

Áp dụng tiếp định lí sin cho  \( \Delta DNA \) và  \( \Delta DQA \), ta được:

 \( \frac{PH}{MH}=\frac{\sin \widehat{DNA}\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}\sin \widehat{MDH}}=\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{MDH}}.\frac{\sin \widehat{PDH}}{\sin \widehat{DQA}} \)

 \( =\frac{\sin \widehat{DNA}}{\sin \widehat{NDA}}.\frac{\sin \widehat{QDA}}{\sin \widehat{DQA}}=\frac{DA}{AN}.\frac{AQ}{DA}=\frac{AQ}{AN} \).

Kết hợp (1)  \( \Rightarrow \frac{PH}{MH}=\frac{{{O}_{2}}A}{{{O}_{1}}A}\Rightarrow {{O}_{2}}P\parallel DH\parallel {{O}_{1}}M\Rightarrow DH\bot BC \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tứ giác ABCD, AB không song song với CD. Đường tròn (C1) qua A, B và tiếp xúc với CD tại P, đường tròn (C2) qua C, D và tiếp xúc với AB tại Q, (C1) và (C2) cắt nhau tại E và F

Cho tứ giác ABCD, AB không song song với CD. Đường tròn (C1) qua A, B và tiếp xúc với CD tại P, đường tròn (C2) qua C, D và tiếp xúc với AB tại Q, (C1) và (C2) cắt nhau tại E và F. Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi BC song song với AD.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là giao điểm của EF và PQ, đường thẳng PQ cắt đường tròn (C1) và đường tròn (C2) thứ tự tại K và G.

Theo giả thiết AB không song song với CD nên AB và CD giao nhau, gọi giao điểm là M.

Theo hệ thức đường tròn  \( \Rightarrow M{{P}^{2}}=MA.MB \) và  \( M{{Q}^{2}}=MC.MD \)  (1)

Mặt khác, ta có:  \( IE.IF=IP.IK=IQ.IG\Rightarrow IP(IQ+QK)=IQ(IP+PG) \)

 \( \Rightarrow IP.QK=IQ.PG\Rightarrow IP=IQ\Leftrightarrow QK=PG\Leftrightarrow PQ.QK=PQ.PG \)

 \( \Leftrightarrow QA.QB=PD.PC \)  (2)

Ta có:  \( AQ=MQ-MA,\text{ }QB=MB-MQ,DP=MP-MD \) và  \( PC=MC-MP \).

Từ (2) và kết hợp (1) suy ra:  \( (MB-MQ)(MQ-MA)=(MP-MD)(MC-MP) \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ-MQ.MB-M{{Q}^{2}}+MQ.MA=MP.MC-M{{P}^{2}}-MD.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MB.MQ+MQ.MA=MP.MC+MD.MP \)

 \( \Leftrightarrow MQ(MB+MA)=MP(MC+MD)\Leftrightarrow M{{Q}^{2}}{{(MB+MA)}^{2}}=M{{P}^{2}}{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow MD.MC{{(MA+MB)}^{2}}=MA.MB{{(MC+MD)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(MA.MC-MD.MB)}^{2}}=0\Leftrightarrow MA.MC=MD.MB\Leftrightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MC}\Leftrightarrow BC\parallel AD \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác của tam giác, M là điểm thay đổi trên AD, P và Q là hình chiếu của M trên AB và AC, I là trung điểm BC, H là hình chiếu của I trên PQ

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác của tam giác, M là điểm thay đổi trên AD, P và Q là hình chiếu của M trên AB và AC, I là trung điểm BC, H là hình chiếu của I trên PQ. Chứng minh rằng MH luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên AD.

Hướng dẫn giải:

AD cắt đường tròn (O) tại E  \( \Rightarrow EC=EB \)

 \( \Rightarrow EI \) là đường thẳng chứa một đường kính của đường tròn (O) cố định, đường kính này cắt (O) tại F.

 \( \Rightarrow F \) là điểm cố định.

Giả sử MF cắt PQ tại J. Theo giả thiết ta có  \( \widehat{PAM}=\widehat{QAM} \), \(MP\bot AB,\text{ }MQ\bot AC\)

 \( \Rightarrow AM\bot PQ \).

Gọi K là giao điểm AM và PQ, EF là đường kính.

 \( \Rightarrow \widehat{ECF}={{90}^{O}},\widehat{EFC}=\widehat{EAC} \) (chắn cung  \( \overset\frown{CE} \))

 \( \Rightarrow \Delta AQM\backsim \Delta FCE \) (g.g) \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{AK}{KM} \)  (1)

Mặt khác EF là đường kính nên  \( AE\bot AF\Rightarrow AF\parallel PQ\Rightarrow \frac{AK}{KM}=\frac{FJ}{JM} \)  (2)

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow \frac{FI}{IE}=\frac{FJ}{JM} \), theo định lí Thales đảo  \( \Rightarrow IJ\parallel AD \).

 \( \Rightarrow IJ\bot PQ\Rightarrow J\equiv H\Rightarrow MH \) luôn đi qua F là điểm cố định.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho đa giác ABCDE, thỏa mãn BACˆ=CADˆ=DAEˆ và ABCˆ=ACDˆ=ADEˆ. Đường thẳng BD cắt CE tại M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm CD

Cho đa giác ABCDE, thỏa mãn \( \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE} \) và  \( \widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE} \). Đường thẳng BD cắt CE tại M. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm CD.

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết  \( \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE} \) và  \( \widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE} \).

 \( \Rightarrow \Delta ABC,\text{ }\Delta ACD,\text{ }\Delta ADE \) đồng dạng (g.g)

 \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{AD}{AE} \)   (1)

Giả sử BD cắt AC tại P, CE cắt AD tại Q.

Từ  giả thiết  \( \widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{CAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE} \)

 \( \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAE}\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta ACE \) (c.g.c).

AP là phân  giác của  \( \widehat{BAD} \), AQ là phân giác  \( \widehat{CAE} \)  \( \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AQ} \).

Kết hợp (1) \( \Rightarrow \frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AD}\Rightarrow \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AD} \), theo định lý Thales đảo  \( \Rightarrow PQ\parallel CD \).

 \( \Rightarrow PQCD \) là hình thang  \( \Rightarrow  \) theo tính chất hình thang AM đi qua trung điểm CD

 \( \Rightarrow IC=ID \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho bộ ba điểm thẳng hàng theo thứ tự (A1,A2,A3) và (B1,B2,B3) thỏa mãn A1A2/A1A3=B1B2/B1B3=k. Trên A1B1,A2B2,A3B3 lần lượt lấy các điểm C1,C2,C3 thỏa mãn C1A1/C1B1=C2A2C2B2=C3A3C3B3

Cho bộ ba điểm thẳng hàng theo thứ tự \( ({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}) \) và  \( ({{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}}) \) thỏa mãn  \( \frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}{{B}_{3}}}=k \). Trên  \( {{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},{{A}_{3}}{{B}_{3}} \) lần lượt lấy các điểm  \( {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thỏa mãn  \( \frac{{{C}_{1}}{{A}_{1}}}{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{{{C}_{2}}{{A}_{2}}}{{{C}_{2}}{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{3}}{{A}_{3}}}{{{C}_{3}}{{B}_{3}}} \). Chứng minh rằng  \( {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}{{C}_{3}}}=k \).

Hướng dẫn giải:

Từ C1 kẻ đường thẳng song song với A1A3 trên đó lấy các điểm  M, N sao cho A2M và A3N song song với A1C1, tương tự  \( {{B}_{1}}{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}Q \) và  \( P{{B}_{2}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \),  \( Q{{B}_{3}}\parallel {{C}_{1}}{{B}_{1}} \).

 \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}M{{A}_{2}} \) là hình bình hành  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}={{C}_{1}}M \) và  \( {{A}_{1}}{{A}_{3}}={{C}_{1}}N \).

 \( \Rightarrow \frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=\frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=k \);

Hoàn toàn tương tự  \( \frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}=\frac{{{B}_{1}}{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}{{B}_{3}}}=k \)

 \( \Rightarrow \frac{{{C}_{1}}M}{{{C}_{1}}N}=\frac{{{C}_{1}}P}{{{C}_{1}}Q}\Rightarrow MP\parallel NQ \);

Với cách dựng trên  \( \Rightarrow {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{A}_{2}}M={{A}_{3}}N \) và  \( {{B}_{1}}{{C}_{1}}={{B}_{2}}P={{B}_{3}}Q \),  \( {{A}_{2}}M\parallel {{B}_{2}}P \).

Kết hợp giả thiết \(\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}M}{{{B}_{2}}P}=\frac{{{C}_{2}}{{A}_{2}}}{{{C}_{2}}{{B}_{2}}},\text{ }\widehat{{{C}_{2}}{{A}_{2}}M}=\widehat{{{C}_{2}}{{B}_{2}}P}\Rightarrow \Delta M{{A}_{2}}{{C}_{2}}\backsim \Delta P{{B}_{2}}{{C}_{2}}\).

 \( \Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}{{C}_{2}}M}=\widehat{{{B}_{2}}{{C}_{2}}P}\Rightarrow M,{{C}_{2}},P \) thẳng hàng.

Hoàn toàn tương tự  \( \Rightarrow \frac{{{A}_{3}}N}{{{B}_{3}}Q}=\frac{{{A}_{3}}{{C}_{3}}}{{{B}_{3}}{{C}_{3}}}\Rightarrow N,{{C}_{3}},Q \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{2}}M}{{{C}_{2}}P}=\frac{{{C}_{3}}N}{{{C}_{3}}Q} \)

 \( \Rightarrow {{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}} \) thẳng hàng và  \( \frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{{{C}_{1}}{{C}_{3}}}=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}{{A}_{3}}}=k \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng MA.BC<MB.CA+MC.AB

Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng \( MA.BC<MB.CA+MC.AB \).

Hướng dẫn giải:

Từ M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại D và E  \( \Rightarrow  \) Tứ giác AEMD là hình bình hành  \( \Rightarrow MD=AE \).

Theo định lí Thales  \( \frac{MB}{BC}=\frac{ME}{CA}\Rightarrow MB=\frac{BC.ME}{CA} \), tương tự  \( MC=\frac{BC.MD}{AB} \).

Thay MB và MC vào biểu thức  \( MB.CA+MC.AB \), ta có:

 \( MB.CA+MC.AB=\frac{BC.ME}{CA}.CA+\frac{BC.MD}{AB}.AB=BC(ME+MD)=BC(ME+AE) \)

 \( ME+AE>MA\Rightarrow MB.CA+MC.AB>BC.MA \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A bờ AB kẻ tia Ax và tia Ay thỏa mãn Ax∥BC và tia Ax nằm trong góc CAyˆ, từ C kẻ đường thẳng d cắt Ax tại D và Ay tại E, đường thẳng BD cắt AC tại F

Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A bờ AB kẻ tia Ax và tia Ay thỏa mãn \( Ax\parallel BC \) và tia Ax nằm trong góc  \( \widehat{CAy} \), từ C kẻ đường thẳng d cắt Ax tại D và Ay tại E, đường thẳng BD cắt AC tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua điểm cố định không phụ thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Lời giải:

Kéo dài tia Ay cắt BC tại P, EF cắt AD tại M và BC tại N.

Theo giả thiết  \( Ax\parallel BC \), theo định lí Thales, ta có:

 \( \frac{MA}{MD}=\frac{NP}{NC} \) và  \( \frac{MA}{MD}=\frac{NC}{NB} \) \( \Rightarrow \frac{NP}{NC}=\frac{NC}{NB}\Rightarrow \frac{NP}{NP+NC}=\frac{NC}{NC+NB} \)

 \( \Rightarrow \frac{NP}{CP}=\frac{NC}{BC}\Rightarrow \frac{CP-CN}{CP}=\frac{NC}{BC} \)

 \( \Rightarrow \frac{NC}{BC}+\frac{NC}{CP}=1\Rightarrow NC\left( \frac{1}{BC}+\frac{1}{CP} \right)=1 \)

 \( \Rightarrow CN=\frac{BC.CP}{BC+CP} \), tia Ay cố định  \( \Rightarrow P \) cố định  \( \Rightarrow CP \) không đổi.

 \( \Rightarrow  \) Biểu thức  \( \frac{BC.CP}{BC+CP} \) có giá trị không đổi  \( \Rightarrow CN \) không đổi.

 \( \Rightarrow \)  Đường thẳng luôn đi qua điểm cố định N, không phụ thuộc đường thẳng d.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M, N là trung điểm của BD và AC, H là điểm đối xứng của O qua MN, đường thẳng qua H và song song với MN cắt AD, BC, BD, AC lần lượt tại P, Q, E, F. Chứng minh rằng PE=QF

Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M, N là trung điểm của BD và AC, H là điểm đối xứng của O qua MN, đường thẳng qua H và song song với MN cắt AD, BC, BD, AC lần lượt tại P, Q, E, F. Chứng minh rằng \( PE=QF \).

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết H đối xứng với O qua MN  \( \Rightarrow OM=ME \) và  \( MB=MD \)  \( \Rightarrow OB=ED \), tương tự  \( FC=OA \);

Qua O kẻ  \( IJ\parallel MN \), theo định lí Thales  \( \Rightarrow \frac{PE}{OI}=\frac{DE}{DO}=\frac{OB}{DO}\Rightarrow PE=\frac{OB.OI}{DO} \).

Tương tự  \( QF=\frac{OA.OJ}{CO} \);

MN cắt AD và BC tại K và G.

 \( \Rightarrow \frac{KM}{IO}=\frac{DM}{DO}=\frac{BD}{2DO},\text{ }\frac{KN}{IO}=\frac{AN}{AO}=\frac{AC}{2AO} \).

Trừ  hai đẳng thức  \( \Rightarrow \frac{MN}{IO}=\frac{1}{2}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right) \).

Tương tự  \( \frac{MN}{JO}=\frac{1}{2}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right) \).

Để chứng minh  \( PE=QF\Leftrightarrow \frac{OB.OI}{DO}=\frac{OA.OJ}{CO}\Leftrightarrow \frac{OB.MN}{DO.OJ}=\frac{OA.MN}{CO.OI} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{OB}{DO}\left( \frac{BD}{BO}-\frac{AC}{CO} \right)=\frac{OA}{CO}\left( \frac{AC}{AO}-\frac{BD}{DO} \right)\Leftrightarrow \frac{BD}{DO}-\frac{OB.AC}{DO.CO}=\frac{AC}{CO}-\frac{OA.BD}{CO.DO} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{BD}{DO}+\frac{OA.BD}{CO.DO}=\frac{AC}{CO}+\frac{OB.AC}{DO.CO} \), hai vế cho kết quả  \( \frac{AC.BD}{DO.CO} \).

Ví dụ này ngoài vận dụng định lí Thales còn đòi hỏi biến đổi và kẻ thêm hình.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và B là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC

Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác AD, gọi M và B là hình chiếu của D trên AC và AB. Giao điểm của BM và CN là P. Chứng minh rằng AP vuông góc với BC.

Hướng dẫn giải:

Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC, đường thẳng BM, CN cắt d tại E và F, gọi H là giao điểm của AP và BC. Theo định lí Thales, ta có:

 \( \frac{HC}{HB}=\frac{AF}{AE},\text{ }\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{BC}\Rightarrow AM=\frac{AE.CM}{BC},\text{ }\frac{AN}{BN}=\frac{AF}{BC}\Rightarrow AN=\frac{AF.BN}{BC} \);

 \( DM\bot AC,\text{ }DN\bot AB,\text{ }\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AND\Rightarrow AN=AM \).

 \( \Rightarrow AE.CM=AF.BN\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{AF}{AE}\Rightarrow \frac{HC}{HB}=\frac{CM}{BN} \)  (*)

Kẻ  \( AK\bot BC\Rightarrow \Delta DMC \) và  \( \Delta AKC \) là hai tam giác vuông có góc  \( \widehat{C} \) chung.

 \( \Rightarrow \Delta DMC\backsim \Delta AKC\Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{CM}{CK} \), tương tự  \( \frac{BD}{AB}=\frac{BN}{BK} \).

AD là phân giác  \( \Rightarrow \frac{CD}{CA}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{CM}{CK}=\frac{BN}{BK}\Rightarrow \frac{CM}{BN}=\frac{CK}{BK} \), kết hợp (*)

 \( \Rightarrow K\equiv H\Rightarrow AP\bot BC \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng ABCD là hình thang khi và chỉ khi OA.OD=OB.OC

Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng ABCD là hình thang khi và chỉ khi \( OA.OD=OB.OC \).

Hướng dẫn giải:

ABCD là hình thang, giả sử  \( AB\parallel CD \)

 \( \Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\Rightarrow OA.OD=OB.OC \).

Ngược lại: Giả sử ta có  \( OA.OD=OB.OC \)

 \( \Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD},\text{ }\widehat{AOB}=\widehat{DOC}\Rightarrow \Delta AOB\backsim \Delta COD \)

 \( \Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{DCO}\Rightarrow AB\parallel CD\Rightarrow ABCD \) là hình thang.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E bất kì, đường thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N. Chứng minh rằng MN∥BC

Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E bất kì, đường thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N. Chứng minh rằng \( MN\parallel BC \).

Hướng dẫn giải:

Từ E dựng đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Theo định lí Thales suy ra:

 \( \frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{PE}{BD} \) và  \( \frac{AE}{AD}=\frac{AQ}{AC}=\frac{ED}{DC} \).

 \( \Rightarrow \frac{PE}{BD}=\frac{EQ}{DC},\text{ }BD=DC\Rightarrow PE=EQ \).

 \( \Rightarrow \frac{NP}{NB}=\frac{NE}{NC}=\frac{PE}{BC} \) và  \( \frac{ME}{MB}=\frac{MQ}{MC}=\frac{EQ}{BC} \)

 \( \Rightarrow \frac{NE}{NC}=\frac{ME}{MB}\Rightarrow MN\parallel BC \).

Từ kết quả này ta suy ra bài toán: Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh đáy, giao điểm hai đường chéo, giao điểm hai đường thẳng chứa hai cạnh bên nằm trên một đường thẳng.

Kết quả này như một hệ quả được sử dụng chứng minh cho nhiều bài toán khác.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC ( AB=AC), kéo dài BC về phía C lấy điểm M. Đường thẳng d qua M cắt cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng BM/BP−CM/CQ không phụ thuộc vào vị trí của M và đường thẳng d

Cho tam giác ABC ( \( AB=AC \)), kéo dài BC về phía C lấy điểm M. Đường thẳng d qua M cắt cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng \( \frac{BM}{BP}-\frac{CM}{CQ} \) không phụ thuộc vào vị trí của M và đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Qua A dựng đường thẳng song song với d cắt BC tại N, theo định lí Thales ta có:  \( \frac{BM}{BP}=\frac{BN}{BA} \) và  \( \frac{CM}{CQ}=\frac{CN}{CA} \), trừ hai vế ta có:

 \( \frac{BM}{BP}-\frac{CM}{CN}=\frac{BN}{BA}-\frac{CN}{CA}=\frac{BC}{AB} \).

 \( \frac{BC}{AB} \) không phụ thuộc vị trí M và đường thẳng d  \( \Rightarrow \frac{BM}{BP}-\frac{CM}{CQ} \) không phụ thuộc vị trí M và đường thẳng d.

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC. Qua B, C dựng các đường thẳng song song với AM cắt AC, AB lần lượt tại P, Q

Cho tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC. Qua B, C dựng các đường thẳng song song với AM cắt AC, AB lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng \( \frac{1}{AM}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{QC} \).

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết  \( AM\parallel PB\parallel QC \), theo định lí Thales

 \( \Rightarrow \frac{AM}{PB}=\frac{CM}{CB} \) và  \( \frac{AM}{QC}=\frac{BM}{BC} \), cộng hai vế ta có:  \( \frac{AM}{PB}+\frac{AM}{QC}=\frac{CM}{CB}+\frac{BM}{BC}=\frac{BM+MC}{BC}=\frac{BC}{BC}=1 \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{AM}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{QC} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho tam giác ABC, O là điểm trong tam giác. AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF tại N và M. Chứng minh rằng OM=ON

Cho tam giác ABC, O là điểm trong tam giác. AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF tại N và M. Chứng minh rằng \( OM=ON \).

Hướng dẫn giải:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BO, CO, DE, DF lần lượt tại P, Q, I, H.

Theo định lí Thales, ta có:  \( \frac{AQ}{BC}=\frac{AH}{BD},\text{ }\frac{BC}{AP}=\frac{DC}{AI} \).

Nhân hai đẳng thức  \( \Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{AH}{BD}.\frac{DC}{AI} \).

Mặt khác:  \( \frac{AQ}{AP}=\frac{DC}{DB}\Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{DC}{DB}=\frac{AH}{BD}.\frac{DC}{AI} \).

\(\Rightarrow \frac{AH}{AI}=1\Rightarrow AH=AI,\text{ }\Delta DHI\) có DA là trung tuyến  \( \Rightarrow OM=ON \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!