Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM,BD=3/2BN, AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V1, V2

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM,\(BD=\frac{3}{2}BN\), AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V1, V2, trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{19} \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{13} \)     

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{15}{19} \)     

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3}{19} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Áp dụng định lí Menelauyt, ta có:  \( \frac{MB}{MC}.\frac{ND}{NB}.\frac{GC}{GD}=1\Rightarrow \frac{GC}{GD}=4 \) và  \( \frac{GC}{GD}.\frac{FD}{FA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{FD}{FA}=\frac{1}{4} \)

 \( {{V}_{DCPMNF}}={{V}_{CPMF}}+{{V}_{CMNF}}+{{V}_{CNFD}} \)

 \( \frac{{{V}_{CPMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CPM) \right)}}.{{S}_{\Delta CPM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{4}{15} \)

 \( \frac{{{V}_{CNMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CNM) \right)}}.{{S}_{\Delta CNM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(CBD) \right)}}.{{S}_{\Delta CBD}}}=\frac{1}{5}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{45} \)

 \( \frac{{{V}_{CNDF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(FND) \right)}}.{{S}_{\Delta FND}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(ABD) \right)}}.{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{1}{5}.\frac{1}{3}=\frac{1}{15} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{4}{15}+\frac{4}{45}+\frac{1}{15}\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{45-19}{19}=\frac{26}{19} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *