Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7/13 lần phần còn lại

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \( \frac{7}{13} \) lần phần còn lại. Tính tỉ số  \( k=\frac{IA}{IS} \)?

A. \( \frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{3}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Mặt phẳng (MNI) cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1.

Đặt  \( {{V}_{S.ABCD}}=V  \).

Ta có:  \( {{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta BMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}} \)  \( \Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

 \( \frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{IA}{SA}=\frac{k}{k+1} \)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{I.APM}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}.\frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}V\)

Do MN // AC  \( \Rightarrow  \)IK // AC  \( \Rightarrow  \) IK // (ABCD)  \( \Rightarrow  \) d(I,(ABCD)) = d(K,(ABCD)).

Mà \({{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta NCQ}}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}={{V}_{K.NCQ}}=\frac{k}{8(k+1)}V\)

Kẻ IH // SD ( \( H\in SD  \)) như hình 2.

Ta có:

 \( \frac{IH}{SD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AI}{AS}=\frac{k}{k+1} \)

 \( \frac{IH}{ED}=\frac{PH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{AH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{2AH}{3AD} \) \( =\frac{1}{3}+\frac{2k}{3(k+1)}=\frac{3k+1}{3(k+1)} \)

 \( \Rightarrow \frac{ED}{SD}=\frac{IH}{SD}:\frac{ID}{ED}=\frac{3k}{3k+1} \) \( \Rightarrow \frac{{{d}_{\left( E,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{ED}{SD}=\frac{3k}{3k+1} \)

 \( \frac{{{S}_{\Delta PQD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{9}{8}\Rightarrow \frac{{{V}_{E.PQD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{27k}{24k+8} \) \( \Rightarrow {{V}_{E.PQD}}=\frac{27k}{24k+8}V \)

 \( {{V}_{EIKAMNCD}}=\frac{13}{20}V\Leftrightarrow {{V}_{E.PDC}}-{{V}_{I.APM}}-{{V}_{K.NQC}}=\frac{13}{20}V  \)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{8(3k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V=\frac{13}{20}V\)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{2(3k+1)}-\frac{k}{k+1}=\frac{13}{5}\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *