Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng a^3/√6

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm của CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a do đó  \( BC=BD=a\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow C{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}} \) do đó tam giác BCD vuông cân tại B.

Gọi H là trung điểm của BD thì  \( SH\bot (ABCD) \).

Khi \({{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BD.BC\)\(\Rightarrow SH=\frac{6.\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Hạ  \( HI\bot SB  \).

Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm của AM và ta có AMCB là hình bình hành do đó AH // BC

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}={{d}_{\left( H,(SBC) \right)}}=HI  \).

Khi đó:  \( \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{6{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \)  \( \Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4} \) hay  \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).