Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng a^3/√6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng \( \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} \). Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) là

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{a\sqrt{2}}{6}\)

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) 

D. \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm của CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a do đó  \( BC=BD=a\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow C{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}} \) do đó tam giác BCD vuông cân tại B.

Gọi H là trung điểm của BD thì  \( SH\bot (ABCD) \).

Khi \({{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BD.BC\)\(\Rightarrow SH=\frac{6.\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Hạ  \( HI\bot SB  \).

Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm của AM và ta có AMCB là hình bình hành do đó AH // BC

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}={{d}_{\left( H,(SBC) \right)}}=HI  \).

Khi đó:  \( \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{6{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \)  \( \Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4} \) hay  \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *