Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng \( \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} \). Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) là
A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\frac{a\sqrt{2}}{6}\)
C. \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
D. \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi M là trung điểm của CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a do đó \( BC=BD=a\sqrt{2} \)
\( \Rightarrow C{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}} \) do đó tam giác BCD vuông cân tại B.
Gọi H là trung điểm của BD thì \( SH\bot (ABCD) \).
Khi \({{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BD.BC\)\(\Rightarrow SH=\frac{6.\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Hạ \( HI\bot SB \).
Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm của AM và ta có AMCB là hình bình hành do đó AH // BC
\( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}={{d}_{\left( H,(SBC) \right)}}=HI \).
Khi đó: \( \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{6{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4} \) hay \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!