Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng √21

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng  \( \sqrt{21} \). Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

A. \( \sqrt{21} \)

B. 21             

C.  \( 7\sqrt{3} \)

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử AB = a. Gọi H là trung điểm của AB  \( \Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Ta có:

 \( \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BD}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA} \right).\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \right)=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}\sqrt{2}\cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \left( SA,BD \right)=\sqrt{\frac{7}{8}} \)

 \( {{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}SH.AB.AD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}} \) \( \Rightarrow {{V}_{SABD}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \).

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}SA.BD.{{d}_{\left( SA,BD \right)}}.\sin \left( SA,BD \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}a.a\sqrt{2}.\sqrt{21}.\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}\Leftrightarrow a=7 \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *