Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng √21

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử AB = a. Gọi H là trung điểm của AB  \( \Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Ta có:

 \( \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BD}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA} \right).\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} \right)=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}\sqrt{2}\cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{SA},\overrightarrow{BD} \right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \left( SA,BD \right)=\sqrt{\frac{7}{8}} \)

 \( {{V}_{SABCD}}=\frac{1}{3}SH.AB.AD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{3}} \) \( \Rightarrow {{V}_{SABD}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \).

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}SA.BD.{{d}_{\left( SA,BD \right)}}.\sin \left( SA,BD \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{6}a.a\sqrt{2}.\sqrt{21}.\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{12}{{a}^{3}}\Leftrightarrow a=7 \)