Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \( BC=\frac{1}{2}AD=a \). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \( \alpha \) sao cho \( \tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{5} \). Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a.
A. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{2} \)
B. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)
C. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)
D. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi H là trung điểm AB, từ giả thiết ta có: \( SH\bot (ABCD) \), \(\widehat{\left( SC,(ABCD) \right)}=\widehat{SCH}=\alpha \).
Đặt \( AB=x \), ta có: \( HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}} \), \( SH=HC.\tan \alpha =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5} \).
Mặt khác: \( SH=\frac{x\sqrt{3}}{2} \).
Vậy ta có: \( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=a \).
\({{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).AB}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\); \({{S}_{ACD}}=\frac{2}{3}{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\).
\({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!