Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, BC=12AD=a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng α sao cho tanα=√15/5

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm AB, từ giả thiết ta có:  \( SH\bot (ABCD) \), \(\widehat{\left( SC,(ABCD) \right)}=\widehat{SCH}=\alpha \).

Đặt  \( AB=x  \), ta có:  \( HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}} \),  \( SH=HC.\tan \alpha =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5} \).

Mặt khác:  \( SH=\frac{x\sqrt{3}}{2} \).

Vậy ta có:  \( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=a  \).

\({{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).AB}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\); \({{S}_{ACD}}=\frac{2}{3}{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\).

\({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)