Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \( A(0;-1;2) \), \( B(2;-3;0) \), \( C(-2;1;1) \), \( D(0;-1;3) \). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức: \( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1 \). Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
A. \( r=\frac{\sqrt{11}}{2} \)
B. \( r=\frac{\sqrt{7}}{2} \)
C. \( r=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
D. \( r=\frac{\sqrt{5}}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi M(x;y;z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: \( \overrightarrow{AM}=(x;y+1;z-2) \), \( \overrightarrow{BM}=(x-2;y+3;z) \), \( \overrightarrow{CM}=(x+2;y-1;z-1) \), \( \overrightarrow{DM}=(x;y+1;z-3) \).
Từ giả thiết: \( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1 \\ & \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x(x-2)+(y+1)(y+3)+z(z-2)=1 \\ & x(x+2)+(y+1)(y-1)+(z-1)(z-3)=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4z+1=0 \\ \end{align} \right. \)
Suy ra quỹ tính điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm \( {{I}_{1}}(1;-2;1),\text{ }{{R}_{1}}=2 \) và mặt cầu tâm \( {{I}_{2}}(-1;0;2),\text{ }{{R}_{2}}=2 \).
Ta có: \( {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{5} \)
Dễ thấy: \( r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{\left( \frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4-\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!