Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0;−1;2), B(2;−3;0), C(−2;1;1), D(0;−1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức: →MA.→MB=→MC.→MD=1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M(x;y;z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:  \( \overrightarrow{AM}=(x;y+1;z-2) \),  \( \overrightarrow{BM}=(x-2;y+3;z) \),  \( \overrightarrow{CM}=(x+2;y-1;z-1) \),  \( \overrightarrow{DM}=(x;y+1;z-3) \).

Từ giả thiết:  \( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1 \\  & \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x(x-2)+(y+1)(y+3)+z(z-2)=1 \\  & x(x+2)+(y+1)(y-1)+(z-1)(z-3)=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z+2=0 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4z+1=0 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra quỹ tính điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm  \( {{I}_{1}}(1;-2;1),\text{ }{{R}_{1}}=2 \) và mặt cầu tâm  \( {{I}_{2}}(-1;0;2),\text{ }{{R}_{2}}=2 \).

Ta có:  \( {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{5} \)

Dễ thấy:  \( r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{\left( \frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4-\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2} \).