Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60O

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Trong  \( \Delta ABC  \) kẻ  \( CH\bot AB\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow CH\bot SB  \) (1)

 \( BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

 \( BH.BA=B{{C}^{2}}\Rightarrow BH=\frac{3a}{2} \),  \( CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a  \)

Trong  \( \Delta SAB  \) kẻ  \( HK\bot SB\Rightarrow CK\bot SB  \) (2)

Từ (1), (2)  \( \Rightarrow HK\bot SB  \)

Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là  \( \widehat{CKH}={{60}^{0}} \).

Trong tam giác vuông CKH có  \( HK=CH.\cot {{60}^{0}}=\frac{1}{2}a  \),  \( BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

 \( \Delta SAB ∽ \Delta HKB  \) (g.g) nên  \( \frac{SA}{HK}=\frac{AB}{BK}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}\Rightarrow SA=\frac{a}{\sqrt{2}} \)

Thể tích hình chóp S.ABC là  \( V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \)