Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt (O) tại K khác A. Hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.
b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.
c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp.
Xét tứ giác AHEK có:
\( \widehat{AHE}={{90}^{O}} \) (AB \( \bot \) MN);
\( \widehat{AKE}={{90}^{O}} \) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \( \widehat{AHE}+\widehat{AKE}={{180}^{O}} \)\(\Rightarrow \) Tứ giác AHKE nội tiếp (đpcm)
b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh \( \Delta NFK \) cân và EM.NC = EN.CM.
Vì NF và KB cùng vuông góc với AC nên NF // KB, AB \( \bot \) MN \( \Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \).
Có \( \widehat{KFN}=\widehat{MKB} \) (đồng vị và KE // FN), \( \widehat{KNF}=\widehat{NKB} \) (so le và KE // FN)
\( \widehat{BKN}=\widehat{MKB} \) (vì \( \overset\frown{MB}=\overset\frown{BN} \))
\( \Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF} \)
Do đó \( \Delta NFK \) cân tại K.
Xét \( \Delta MKN \) có KE là phân giác của \( \widehat{MKN} \) nên \( \frac{EM}{EN}=\frac{KM}{KN} \) (1)
Do KE \( \bot \) KC nên KC là phân giác ngoài của \( \widehat{MKN} \) \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{KM}{KN} \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}\Leftrightarrow EM.CN=EN.CM \) (đpcm)
c) Giả sử KE = KC. Chứng minh OK // MN và KM2 + KN2 = 4R2.
+ KE = KC \( \Rightarrow \Delta KEC \) vuông cân tại K \( \Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{O}} \) \( \Rightarrow \widehat{HEB}={{45}^{O}} \) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{O}} \) (vì \( \Delta HEB \) vuông tại H)
+ \( \Delta OKB \) cân tại O có \( \widehat{OBK}={{45}^{O}} \) nên \( \Delta OKB \) vuông tại O \( \Rightarrow \) OK // MN (cùng vuông góc với AB) (đpcm)
+ Kẻ đường kính KK’ \(\Rightarrow \Delta KK’M\) vuông tại M \(\Rightarrow K{{M}^{2}}+K'{{M}^{2}}=K{{{K}’}^{2}}=4{{R}^{2}}\)
Lại có KK’ // MN (cùng vuông góc với AB) \( \Rightarrow \) cung \( \overset\frown{K’M}=\overset\frown{KN} \) (tính chất 2 dây song song chắn 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow K’N=KN \)
Vậy \( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=4{{R}^{2}} \) (đpcm)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!