Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) với A là tiếp điểm. Qua điểm C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đoạn thẳng DE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp.
b) Chứng minh AC.AE = AD.CE
c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh AM // BN.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp.
xét tứ giác AOHC theo giả thiết ta có: \( \widehat{OAC}=\widehat{OHC}={{90}^{O}} \)
\( \Rightarrow \widehat{OAC}+\widehat{OHC}={{90}^{O}}+{{90}^{O}}={{180}^{O} }\)
\( \Rightarrow \) AOHC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AC.AE = AD.CE
Xét \( \Delta CAD \) và \( \Delta CEA \) có \( \widehat{C} \) là góc chung và \( \widehat{CAD}=\widehat{CEA} \) (cùng bằng nửa số đo cung \( \overset\frown{AD} \))
\( \Rightarrow \Delta CAD\backsim \Delta CEA \) (g – g)
\( \Rightarrow \frac{AC}{CE}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AC.AE=AD.CE \)
c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh AM // BN.
Qua E kẻ đường thẳng song song với OC cắt BA, BD lần lượt tại I và F.
Ta có: \( \widehat{IEH}=\widehat{HCO} \) (so le trong)
Mà tứ giác AOHC nội tiếp có: \( \widehat{HCO}=\widehat{HAO}\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{HAO} \)
\( \Rightarrow \) HAEI nội tiếp \( \Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IHE} \) mà \( \widehat{IAE}=\widehat{BDE}\Rightarrow \widehat{IHE}=\widehat{BDE} \) mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow IH//DF \).
Xét tam giác EFD có IH // DF và H là trung điểm của DE nên IH là đường trung bình của tam giác EDF
\( \Rightarrow \)I là trung điểm của EF.
Áp dụng định lí Talet cho các tam giác BOM và BON có: \( \left\{ \begin{align} & \frac{IF}{OM}=\frac{BI}{BO} \\ & \frac{IE}{ON}=\frac{BI}{BO} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{IF}{OM}=\frac{IE}{ON} \)
mà IE = IF nên OM = ON.
Xét tứ giác AMBN có OA = OB và OM = ON nên AMBN là hình bình hành \( \Rightarrow AM // BN \) (đpcm)
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Bài toán mới!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!