Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) với A là tiếp điểm. Qua điểm C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB)

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp.

xét tứ giác AOHC theo giả thiết ta có:  \( \widehat{OAC}=\widehat{OHC}={{90}^{O}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{OAC}+\widehat{OHC}={{90}^{O}}+{{90}^{O}}={{180}^{O} }\)

 \( \Rightarrow  \) AOHC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AC.AE = AD.CE

Xét  \( \Delta CAD  \) và  \( \Delta CEA  \) có  \( \widehat{C} \) là góc chung và  \( \widehat{CAD}=\widehat{CEA} \) (cùng bằng nửa số đo cung  \( \overset\frown{AD} \))

 \( \Rightarrow \Delta CAD\backsim \Delta CEA  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{AC}{CE}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AC.AE=AD.CE  \)

c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh AM // BN.

Qua E kẻ đường thẳng song song với OC cắt BA, BD lần lượt tại I và F.

Ta có:  \( \widehat{IEH}=\widehat{HCO} \) (so le trong)

Mà tứ giác AOHC nội tiếp có:  \( \widehat{HCO}=\widehat{HAO}\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{HAO} \)

 \( \Rightarrow  \) HAEI nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IHE} \) mà  \( \widehat{IAE}=\widehat{BDE}\Rightarrow \widehat{IHE}=\widehat{BDE} \) mà hai góc này ở vị trí so le trong  \( \Rightarrow IH//DF  \).

Xét tam giác EFD có IH // DF và H là trung điểm của DE nên IH là đường trung bình của tam giác EDF

 \( \Rightarrow  \)I là trung điểm của EF.

Áp dụng định lí Talet cho các tam giác BOM và BON có: \( \left\{ \begin{align} & \frac{IF}{OM}=\frac{BI}{BO} \\ & \frac{IE}{ON}=\frac{BI}{BO} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{IF}{OM}=\frac{IE}{ON} \)

 mà IE = IF nên OM = ON.

Xét tứ giác AMBN có OA = OB và OM = ON nên AMBN là hình bình hành \( \Rightarrow  AM // BN \) (đpcm)