Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \( CH\bot AB \) ( \( H\in AB \)), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;
b) AM2 = MK.MB;
c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
d) N là trung điểm của CH.
Hướng dẫn giải:
a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;
Ta có:
\( \widehat{AKB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \widehat{AHN}={{90}^{O}} \) (CH \( \bot \) AB)
\( \Rightarrow \widehat{AKB}+\widehat{AHN}={{180}^{O}} \)
Vậy tứ giác AKNH nội tiếp được đường tròn
b) AM2 = MK.MB;
\( \Delta ABM \) vuông tại A có \( AK\bot MB \)
\( \Rightarrow A{{M}^{2}}=MK.MB \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
Gọi I là giao điểm của AC và OM.
MA = MC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R.
\( \Rightarrow \) OM là đường trung trực của AC \( \Rightarrow OM\bot AC \)
Ta có: \( \widehat{MIA}=\widehat{MKA}={{90}^{O}} \) nhìn đoạn MA.
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMKI nội tiếp đường tròn đường kính MA
Trong đường tròn đường kính MA: \( \widehat{KAI}=\widehat{KMI} \) (nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{IK} \))
\( \Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
d) N là trung điểm của CH.
\( \widehat{ACB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC\bot AC \)
\( OM\bot AC \) (cmt)
\( \Rightarrow OM//BC\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) (so le trong)
Xét \( \Delta AOM \) và \( \Delta HBC \)có: \( \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) và \( \widehat{OAM}=\widehat{BHC}={{90}^{O}} \)
\(\Rightarrow \Delta AOM\backsim \Delta HBC\) (g – g)
\( \Rightarrow \frac{AM}{HC}=\frac{OA}{BH} \) \( \Rightarrow \text{H}C=\frac{AM.BH}{OA}=2.\frac{AM.BH}{AB} \) (1)
MA \( \bot \) AB và CH \( \bot \) AB \( \Rightarrow CH//MA \)
\( \Delta ABM \) có \( CH//MA \) (cmt)
\( \Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{HN}{AM} \) (hệ quả của định lí Tales)
\(\Rightarrow HN=\frac{AM.BH}{AB}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(HC=2HN\Rightarrow HN=\frac{HC}{2}\)
\(\Rightarrow \) N là trung điểm của CH.
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Bài toán mới!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!