Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \( CH\bot AB \) ( \( H\in AB \)), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;
b) AM2 = MK.MB;
c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
d) N là trung điểm của CH.
Hướng dẫn giải:
a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;
Ta có:
\( \widehat{AKB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \widehat{AHN}={{90}^{O}} \) (CH \( \bot \) AB)
\( \Rightarrow \widehat{AKB}+\widehat{AHN}={{180}^{O}} \)
Vậy tứ giác AKNH nội tiếp được đường tròn
b) AM2 = MK.MB;
\( \Delta ABM \) vuông tại A có \( AK\bot MB \)
\( \Rightarrow A{{M}^{2}}=MK.MB \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
Gọi I là giao điểm của AC và OM.
MA = MC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R.
\( \Rightarrow \) OM là đường trung trực của AC \( \Rightarrow OM\bot AC \)
Ta có: \( \widehat{MIA}=\widehat{MKA}={{90}^{O}} \) nhìn đoạn MA.
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMKI nội tiếp đường tròn đường kính MA
Trong đường tròn đường kính MA: \( \widehat{KAI}=\widehat{KMI} \) (nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{IK} \))
\( \Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)
d) N là trung điểm của CH.
\( \widehat{ACB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC\bot AC \)
\( OM\bot AC \) (cmt)
\( \Rightarrow OM//BC\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) (so le trong)
Xét \( \Delta AOM \) và \( \Delta HBC \)có: \( \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) và \( \widehat{OAM}=\widehat{BHC}={{90}^{O}} \)
\(\Rightarrow \Delta AOM\backsim \Delta HBC\) (g – g)
\( \Rightarrow \frac{AM}{HC}=\frac{OA}{BH} \) \( \Rightarrow \text{H}C=\frac{AM.BH}{OA}=2.\frac{AM.BH}{AB} \) (1)
MA \( \bot \) AB và CH \( \bot \) AB \( \Rightarrow CH//MA \)
\( \Delta ABM \) có \( CH//MA \) (cmt)
\( \Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{HN}{AM} \) (hệ quả của định lí Tales)
\(\Rightarrow HN=\frac{AM.BH}{AB}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(HC=2HN\Rightarrow HN=\frac{HC}{2}\)
\(\Rightarrow \) N là trung điểm của CH.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!