Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \( CH\bot AB \) ( \( H\in AB \)), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N

Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \( CH\bot AB  \) ( \( H\in AB  \)), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;

b) AM2 = MK.MB;

c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)

d) N là trung điểm của CH.

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;

Ta có:

 \( \widehat{AKB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \( \widehat{AHN}={{90}^{O}} \) (CH  \( \bot \)  AB)

 \( \Rightarrow \widehat{AKB}+\widehat{AHN}={{180}^{O}} \)

Vậy tứ giác AKNH nội tiếp được đường tròn

b) AM2 = MK.MB;

 \( \Delta ABM  \) vuông tại A có  \( AK\bot MB  \)

 \( \Rightarrow A{{M}^{2}}=MK.MB  \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)

Gọi I là giao điểm của AC và OM.

MA = MC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R.

 \( \Rightarrow  \) OM là đường trung trực của AC  \( \Rightarrow OM\bot AC  \)

Ta có:  \( \widehat{MIA}=\widehat{MKA}={{90}^{O}} \) nhìn đoạn MA.

 \( \Rightarrow  \) Tứ giác AMKI nội tiếp đường tròn đường kính MA

Trong đường tròn đường kính MA:  \( \widehat{KAI}=\widehat{KMI} \) (nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{IK} \))

 \( \Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)

d) N là trung điểm của CH.

 \( \widehat{ACB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC\bot AC \)

 \( OM\bot AC  \) (cmt)

 \( \Rightarrow OM//BC\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) (so le trong)

Xét  \( \Delta AOM  \) và  \( \Delta HBC  \)có:  \( \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) và  \( \widehat{OAM}=\widehat{BHC}={{90}^{O}} \)

\(\Rightarrow \Delta AOM\backsim \Delta HBC\) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{AM}{HC}=\frac{OA}{BH} \) \( \Rightarrow \text{H}C=\frac{AM.BH}{OA}=2.\frac{AM.BH}{AB} \) (1)

MA  \( \bot  \) AB và CH  \( \bot  \) AB  \( \Rightarrow CH//MA  \)

 \( \Delta ABM  \) có  \( CH//MA  \) (cmt)

 \( \Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{HN}{AM} \) (hệ quả của định lí Tales)

\(\Rightarrow HN=\frac{AM.BH}{AB}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(HC=2HN\Rightarrow HN=\frac{HC}{2}\)

\(\Rightarrow \) N là trung điểm của CH.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *