Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ \( CH\bot AB \) ( \( H\in AB \)), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N

Hướng dẫn giải:

a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;

Ta có:

 \( \widehat{AKB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \( \widehat{AHN}={{90}^{O}} \) (CH  \( \bot \)  AB)

 \( \Rightarrow \widehat{AKB}+\widehat{AHN}={{180}^{O}} \)

Vậy tứ giác AKNH nội tiếp được đường tròn

b) AM2 = MK.MB;

 \( \Delta ABM  \) vuông tại A có  \( AK\bot MB  \)

 \( \Rightarrow A{{M}^{2}}=MK.MB  \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) \( \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)

Gọi I là giao điểm của AC và OM.

MA = MC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R.

 \( \Rightarrow  \) OM là đường trung trực của AC  \( \Rightarrow OM\bot AC  \)

Ta có:  \( \widehat{MIA}=\widehat{MKA}={{90}^{O}} \) nhìn đoạn MA.

 \( \Rightarrow  \) Tứ giác AMKI nội tiếp đường tròn đường kính MA

Trong đường tròn đường kính MA:  \( \widehat{KAI}=\widehat{KMI} \) (nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{IK} \))

 \( \Rightarrow \widehat{KAC}=\widehat{OMB} \)

d) N là trung điểm của CH.

 \( \widehat{ACB}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC\bot AC \)

 \( OM\bot AC  \) (cmt)

 \( \Rightarrow OM//BC\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) (so le trong)

Xét  \( \Delta AOM  \) và  \( \Delta HBC  \)có:  \( \widehat{AOM}=\widehat{HBC} \) và  \( \widehat{OAM}=\widehat{BHC}={{90}^{O}} \)

\(\Rightarrow \Delta AOM\backsim \Delta HBC\) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{AM}{HC}=\frac{OA}{BH} \) \( \Rightarrow \text{H}C=\frac{AM.BH}{OA}=2.\frac{AM.BH}{AB} \) (1)

MA  \( \bot  \) AB và CH  \( \bot  \) AB  \( \Rightarrow CH//MA  \)

 \( \Delta ABM  \) có  \( CH//MA  \) (cmt)

 \( \Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{HN}{AM} \) (hệ quả của định lí Tales)

\(\Rightarrow HN=\frac{AM.BH}{AB}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(HC=2HN\Rightarrow HN=\frac{HC}{2}\)

\(\Rightarrow \) N là trung điểm của CH.