Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

a) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh NB2 = NK.NM.

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên  \( \widehat{MAO}=\widehat{MBO}={{90}^{O}} \)

Tứ giác MAOB có  \( \widehat{MAO}+\widehat{MBO}={{180}^{O}} \)

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MN2 = NF.NA và MN = NH.

Ta có:  \( \widehat{M}=\widehat{{{E}_{1}}} \) (so le trong, AE // MO) và  \( {{\widehat{A}}_{1}}=\widehat{{{E}_{1}}}\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{AF} \right) \)

 \( \Rightarrow {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{A}}_{1}} \)

Xét  \( \Delta NMF  \) và  \( \Delta NAM  \), ta có:

 \( \widehat{MNA} \) chung;

 \( {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{A}}_{1}} \)

Do đó,  \( \Delta NMF\backsim \Delta NAM\Rightarrow \frac{NM}{NA}=\frac{NF}{NM} \)  \( \Rightarrow N{{M}^{2}}=NF.NA  \)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

 \( \Rightarrow  \) MO là đường trung trực của AB.

 \( \Rightarrow  \) AH  \( \bot  \) MO và HA = HB.

Xét  \( \Delta MAF  \) và  \( \Delta MEA  \), ta có:

 \( \widehat{AME} \) chung;  \( {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{E}}_{1}} \)

Do đó,  \( \Delta MAF\backsim \Delta MEA  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{MA}{ME}=\frac{MF}{MA}\Rightarrow M{{A}^{2}}=MF.ME  \)

Áp dụng hệ thức lượng vào  \( \Delta MAO  \) vuông, có:  \( M{{A}^{2}}=MH.MO  \)

Do đó:  \( ME.MF=MH.MO\Rightarrow \frac{ME}{MH}=\frac{MO}{MF} \)

 \( \Rightarrow \Delta MFH\backsim \Delta MO  \)E (c – g – c)

 \( \Rightarrow {{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{E}}_{2}} \)

Vì  \( \widehat{BAE} \) là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

 \( \Rightarrow {{\widehat{E}}_{2}}=\widehat{{{A}_{2}}}\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{EB} \right) \)

 \( \Rightarrow {{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}\Rightarrow {{\widehat{N}}_{1}}+{{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{N}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}={{90}^{O}}\Rightarrow HF\bot NA  \)

Áp dụng hệ thức lượng vào  \( \Delta NHA  \) vuộng, ta có: NH2 = NF.NA

 \( \Rightarrow N{{M}^{2}}=N{{H}^{2}}\Rightarrow NM=NH  \)

c) Chứng minh \( \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=1 \).

Áp dụng hệ thức lượng vào \( \Delta NHA \) vuông, ta có HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN

Mà HA = HB.

 \( \Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{H{{A}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{FA.NA}{FA.FN}=\frac{NA}{NF} \)

Vì AE // MN nên  \( \frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF} \) (hệ quả của định lí Talet)

 \( \Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1 \)