Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên  \( \widehat{MAO}=\widehat{MBO}={{90}^{O}} \)

Tứ giác MAOB có  \( \widehat{MAO}+\widehat{MBO}={{180}^{O}} \)

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MN2 = NF.NA và MN = NH.

Ta có:  \( \widehat{M}=\widehat{{{E}_{1}}} \) (so le trong, AE // MO) và  \( {{\widehat{A}}_{1}}=\widehat{{{E}_{1}}}\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{AF} \right) \)

 \( \Rightarrow {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{A}}_{1}} \)

Xét  \( \Delta NMF  \) và  \( \Delta NAM  \), ta có:

 \( \widehat{MNA} \) chung;

 \( {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{A}}_{1}} \)

Do đó,  \( \Delta NMF\backsim \Delta NAM\Rightarrow \frac{NM}{NA}=\frac{NF}{NM} \)  \( \Rightarrow N{{M}^{2}}=NF.NA  \)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

 \( \Rightarrow  \) MO là đường trung trực của AB.

 \( \Rightarrow  \) AH  \( \bot  \) MO và HA = HB.

Xét  \( \Delta MAF  \) và  \( \Delta MEA  \), ta có:

 \( \widehat{AME} \) chung;  \( {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{E}}_{1}} \)

Do đó,  \( \Delta MAF\backsim \Delta MEA  \) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{MA}{ME}=\frac{MF}{MA}\Rightarrow M{{A}^{2}}=MF.ME  \)

Áp dụng hệ thức lượng vào  \( \Delta MAO  \) vuông, có:  \( M{{A}^{2}}=MH.MO  \)

Do đó:  \( ME.MF=MH.MO\Rightarrow \frac{ME}{MH}=\frac{MO}{MF} \)

 \( \Rightarrow \Delta MFH\backsim \Delta MO  \)E (c – g – c)

 \( \Rightarrow {{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{E}}_{2}} \)

Vì  \( \widehat{BAE} \) là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

 \( \Rightarrow {{\widehat{E}}_{2}}=\widehat{{{A}_{2}}}\left( =\frac{1}{2}sd\overset\frown{EB} \right) \)

 \( \Rightarrow {{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}\Rightarrow {{\widehat{N}}_{1}}+{{\widehat{H}}_{1}}={{\widehat{N}}_{1}}+{{\widehat{A}}_{2}}={{90}^{O}}\Rightarrow HF\bot NA  \)

Áp dụng hệ thức lượng vào  \( \Delta NHA  \) vuộng, ta có: NH2 = NF.NA

 \( \Rightarrow N{{M}^{2}}=N{{H}^{2}}\Rightarrow NM=NH  \)

c) Chứng minh \( \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=1 \).

Áp dụng hệ thức lượng vào \( \Delta NHA \) vuông, ta có HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN

Mà HA = HB.

 \( \Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{H{{A}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{FA.NA}{FA.FN}=\frac{NA}{NF} \)

Vì AE // MN nên  \( \frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF} \) (hệ quả của định lí Talet)

 \( \Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1 \)