Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O;R). Kẻ MH vuông góc AB (\(H\in AB\)), MH cắt đường tròn tại N. Biết MA = 10 cm, AB = 12 cm

Hướng dẫn giải:

a) Tính MH và bán kính R của đường tròn.

Theo tính chất đường kính và dây cung  \( \Rightarrow  \) H là trung điểm AB  \( \Rightarrow  \) AH = 6 cm.

 \( \Delta AMH  \) vuông tại H  \( \Rightarrow MH=\sqrt{A{{M}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\text{ }cm  \)

 \( \Delta AMN  \) vuông tại A, đường cao AH

 \( \Rightarrow A{{H}^{2}}=HM.HN  \) \( \Rightarrow HN=\frac{A{{H}^{2}}}{MH}=\frac{36}{8}=4,5\text{ }cm \)

Bán kính \(R=\frac{MN}{2}=\frac{MH+HN}{2}=\frac{8+4,5}{2}=6,25\text{ }cm\)

b) Trên tia đối tia BA lấy điểm C. MC cắt đường tròn tại D, ND cắt AB tại E. Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: NB2 = NE.ND và AC.BE = BC.AE.

 \( \widehat{MDN}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), \(\widehat{MHE}={{90}^{O}}\) (MH \(\bot \) AB)

 \( \Rightarrow \widehat{MDE}+\widehat{MHE}={{180}^{O}} \) \( \Rightarrow \)  Tứ giác MDEH nội tiếp.

 \( \Delta NBE  \) và  \( \Delta NDB  \) có góc  \( \widehat{N} \) chung,  \( \widehat{NBE}=\widehat{NDB} \) (cùng chắn hai cung bằng nhau là cung  \( \overset\frown{NA},\overset\frown{NB} \) – tính chất đường kính và dây cung)

\(\Delta NBE\backsim \Delta NDB\)\(\Rightarrow \frac{NB}{ND}=\frac{NE}{NB}\Rightarrow N{{B}^{2}}=NE.ND\)

Ta có cung  \( \overset\frown{NA}=\overset\frown{NB} \) (tính chất đường kính và dây cung)

 \( \Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{EDB} \) \( \Rightarrow \)  DE là phân giác trong của  \( \Delta ABD  \).

Vì  \( ED\bot DC \)  \( \Rightarrow \) DC là phân giác ngoài  \( \Delta ABD  \)

 \( \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow AC.BE=BC.AE  \)

c) Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Kẻ EI // AM (I  \( \in  \) BM)  \( \Rightarrow \Delta AMB\backsim \Delta EIB  \) \( \Rightarrow \Delta EIB \)  cân tại I  \( \Rightarrow IE=IB  \).

Gọi (O’) là đường tròn tâm I ngoại tiếp  \( \Delta EBD  \).

Ta có NB  \( \bot  \) BM (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

 \( \Rightarrow BN\bot BI  \) \( \Rightarrow BN \)  là tiếp tuyến đường tròn (O’)

 \( \Rightarrow \widehat{EBN}=\widehat{EDB} \) (cùng chắn cung  \( \overset\frown{BE} \))

Mặt khác trên đường tròn (O),  \( \widehat{EBN}=\widehat{EDB} \) (cùng chắn hai cung bằng nhau  \( \overset\frown{NA},\overset\frown{NB} \))  \( \Rightarrow  \) D nằm trên đường tròn (O’).

 \( \Rightarrow  \) NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta BDE  \).