Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (C không trung A và B), dựng tiếp tuyến Cy của nửa đường tròn (O) cắt Ax tại D

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng tứ giác AKMH nội tiếp được một đường tròn.

 \( \widehat{AKM}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),  \( \widehat{AHM}={{90}^{O}} \) (gt)

Tứ giác AKMH, ta có:

 \( \widehat{AKM}+\widehat{AHM}={{90}^{O}}+{{90}^{O}}={{180}^{O} }\) nên nôi tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh rằng tứ giác CKJM nội tiếp được một đường tròn (O1).

Ta có:

+  \( \widehat{AKM}={{90}^{O}} \) (cmt) \(\Rightarrow AK\bot BD\Rightarrow \widehat{AKD}={{90}^{O}}\)    (1)

+ DK = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OC = OA = R.

 \( \Rightarrow  \)OD là trung trực của AC  \( \Rightarrow  \)OD \( \bot\)  AC tại J  \( \Rightarrow  \) \( \widehat{AJD}={{90}^{O}} \)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADKJ nội tiếp đường tròn đường kính AD.

 \( \Rightarrow \widehat{JKM}=\widehat{DAJ} \) (Cùng bù  \( \widehat{DKJ} \))   (3)

Lại có:  \( \left. \begin{align}  & AD\bot AB\text{ (gt)} \\  & \text{CH}\bot AB\text{ }(gt) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AD//CH \) \( \Rightarrow \widehat{JCM}=\widehat{DAJ} \) (so le trong)   (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \( \widehat{JCM}=\widehat{JKM} \) \( \Rightarrow \)  Tứ giác CKJM nội tiếp một đường tròn (O1)

c) Chứng minh DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O1)

Tứ giác CKJM nội tiếp (cmt)  \( \Rightarrow \widehat{KMJ}=\widehat{KCA} \) (góc nội tiếp cùng chắn cung  \( \overset\frown{KJ} \))

Mặt khác:  \( \widehat{ABK}=\widehat{KCA} \) (Góc nội tiếp cùng chắn cung  \( \overset\frown{KA} \))

 \( \Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KMJ}\Rightarrow JM//AB  \) mà CH  \( \bot  \) AB (gt)

 \( \Rightarrow JM\bot CH  \)

 \( \Rightarrow  \) Tam giác JMC vuông tại M

 \( \Rightarrow  \) Đường tròn (O1) nhận JC làm đường kính, lại có OD  \( \bot  \) AC tại J (cmt)

 \( \Rightarrow  \) DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O1)