Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (C không trung A và B), dựng tiếp tuyến Cy của nửa đường tròn (O) cắt Ax tại D. Kẻ CH vuông góc với AB (H \( \in \) AB), BD cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại M. Gọi J là giao điểm của OD và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AKMH nội tiếp được một đường tròn.
b) Chứng minh rằng tứ giác CKJM nội tiếp được một đường tròn (O1).
c) Chứng minh DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O1)
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh rằng tứ giác AKMH nội tiếp được một đường tròn.
\( \widehat{AKM}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), \( \widehat{AHM}={{90}^{O}} \) (gt)
Tứ giác AKMH, ta có:
\( \widehat{AKM}+\widehat{AHM}={{90}^{O}}+{{90}^{O}}={{180}^{O} }\) nên nôi tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh rằng tứ giác CKJM nội tiếp được một đường tròn (O1).
Ta có:
+ \( \widehat{AKM}={{90}^{O}} \) (cmt) \(\Rightarrow AK\bot BD\Rightarrow \widehat{AKD}={{90}^{O}}\) (1)
+ DK = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OC = OA = R.
\( \Rightarrow \)OD là trung trực của AC \( \Rightarrow \)OD \( \bot\) AC tại J \( \Rightarrow \) \( \widehat{AJD}={{90}^{O}} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADKJ nội tiếp đường tròn đường kính AD.
\( \Rightarrow \widehat{JKM}=\widehat{DAJ} \) (Cùng bù \( \widehat{DKJ} \)) (3)
Lại có: \( \left. \begin{align} & AD\bot AB\text{ (gt)} \\ & \text{CH}\bot AB\text{ }(gt) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AD//CH \) \( \Rightarrow \widehat{JCM}=\widehat{DAJ} \) (so le trong) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \( \widehat{JCM}=\widehat{JKM} \) \( \Rightarrow \) Tứ giác CKJM nội tiếp một đường tròn (O1)
c) Chứng minh DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O1)
Tứ giác CKJM nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat{KMJ}=\widehat{KCA} \) (góc nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{KJ} \))
Mặt khác: \( \widehat{ABK}=\widehat{KCA} \) (Góc nội tiếp cùng chắn cung \( \overset\frown{KA} \))
\( \Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KMJ}\Rightarrow JM//AB \) mà CH \( \bot \) AB (gt)
\( \Rightarrow JM\bot CH \)
\( \Rightarrow \) Tam giác JMC vuông tại M
\( \Rightarrow \) Đường tròn (O1) nhận JC làm đường kính, lại có OD \( \bot \) AC tại J (cmt)
\( \Rightarrow \) DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O1)
Các bài toán liên quan
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Bài toán mới!
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!