Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), lấy điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính MC cắt BC tại E, BM cắt (O) tại N, AN cắt (O) tại D, ED cắt AC tại H

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác BANC nội tiếp.

Ta có:  \( \widehat{MNC}={{90}^{O}} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Lại có  \( \widehat{BAC}={{90}^{O}} \) (gt)

Do đó tứ giác BANC là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

b) Chứng minh AB // DE và MH.HC = EH2.

Theo câu a) tứ giác BANC là tứ giác nội tiếp nên  \( \widehat{DNC}=\widehat{ABC} \)  (1)

Lại có  \( \widehat{DNC}=\widehat{DEC} \)   (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn  \( \overset\frown{CD} \) của (O))

Từ (1), (2) suy ra  \( \widehat{ABC}=\widehat{DEC} \), suy ra AB // DE (có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Vì AB // DE mà AB  \( \bot  \) AC nên DE  \( \bot  \) AC hay EH  \( \bot  \) MC.

Mà tam giác MEC vuộng tại  E nên  \( MH.HC=E{{H}^{2}} \) (hệ thực lượng trong tam giác vuông)

c) Chứng minh M cách đều ba cạnh của tam giác ANE.

Ta có:  \( \widehat{ANB}=\widehat{ACB} \)   (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn  \( \overset\frown{AB} \) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BANC)

Và  \( \widehat{MNE}=\widehat{MCE} \)  (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn \( \overset\frown{ME} \) của (O))

Từ (3), (4) ta được  \( \widehat{ANB}=\widehat{MNE} \) hay NM là phân giác của  \( \widehat{ANE} \)  (5)

Ta có: MC  \( \bot  \) DE mà MC là đường kính của (O) nên H là trung điểm của DE.

Từ đó ta có  \( \Delta ADE  \) cân tại A (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Suy ra AH cũng là phân giác của \(\widehat{EAD}\) trong \(\Delta ADE\)

Hay AM là phân giác của  \( \widehat{NAE} \)   (6)

Từ (5), (6) suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANE hay M cách đều ba cạnh của tam giác ANE.

d) Lấy I đối xứng với M qua A, lấy K đối xứng với M qua E. Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất?

Ta có:  \( \widehat{IBA}=\widehat{MBA} \) (vì  \( \Delta BAI=\Delta BAM  \))

 \( \widehat{MBE}=\widehat{KBE} \)  (vì  \( \Delta BEM=\Delta BEK  \))

Do đó:  \( \widehat{IBK}+\widehat{ICK}=2\widehat{ABM}+2\widehat{MBC}+2\widehat{ACB} \)  \( =2\left( \widehat{ABM}+\widehat{MBC}+\widehat{ACB} \right)=2\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)={{2.90}^{O}}={{180}^{O}} \)

Suy ra tứ giác IBKC nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180O)

Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác IBK đi qua C.

Gọi O’ là tâm của đường tròn ngoại tiếp giao tuyến IBK và gọi J là trung điểm của BC.

Thì O’J  \( \bot  \) BC (định lí về đường kính và dây cung)

Ta có:  \( O’C\ge JC \) , JC không đổi

Do đó O’C nhỏ nhất khi  \( O’\equiv J  \)

Khi đó O’C = O’I = O’A = JA = JC

Suy ra  \( I\equiv A  \) hay  \( M\equiv A  \)