Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh: AE.AD = AH.AO = AB2 và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: HE vuông góc với BF.

c) Chứng minh: \( \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}-\frac{DE}{AE}=1 \)

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh: AE.AD = AH.AO = AB2 và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn.

Chỉ ra được  \( AE.AD=A{{B}^{2}} \)

Chỉ ra được  \( AH.AO=A{{B}^{2}} \)

 \( \Rightarrow AE.AD=AH.AO=A{{B}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \Delta AHE\backsim \Delta ADO  \)

 \( \Rightarrow \widehat{EHA}=\widehat{ADO} \)

Kết luận được tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: HE vuông góc với BF.

Tứ giác ODEH nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{HED}+\widehat{HOD}={{180}^{O}} \)

Chứng minh BD // AO  \( \Rightarrow \widehat{BDO}+\widehat{HOD}={{180}^{O}} \)  \( \Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{HED} \)

Tam giác BCD vuông tại B  \( \Rightarrow \widehat{BDC}+\widehat{BCD}={{90}^{O}} \)

Chỉ ra  \( \widehat{BCD}=\widehat{BED} \) (hai góc nội tiếp cùng chắn  \( \overset\frown{BD} \))

\(\Rightarrow \widehat{HED}+\widehat{BED}={{90}^{O}}\Rightarrow \widehat{HEB}={{90}^{O}}\) \(\Rightarrow HE\bot BF\) tại E

c) Chứng minh: \( \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}-\frac{DE}{AE}=1 \)

Chứng minh  \( H{{F}^{2}}=FE.FB  \),  \( A{{F}^{2}}=FE.FB  \)  \( \Rightarrow H{{F}^{2}}=A{{F}^{2}} \)

Chứng minh  \( H{{C}^{2}}=H{{B}^{2}}=BE.BF  \)

 \( \Rightarrow A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}=H{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}=H{{E}^{2}}=EB.EF  \)

 \( \Rightarrow \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}=\frac{BE.BF}{BE.EF}=\frac{BF}{EF} \)

Chứng minh  \( \Delta BDE\backsim \Delta FAE  \)  \( \Rightarrow \frac{DE}{AE}=\frac{BE}{EF} \)

 \( \Rightarrow \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}-\frac{DE}{AE}=\frac{BF}{EF}-\frac{BE}{EF}=\frac{BF-BE}{EF}=\frac{EF}{EF}=1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *