Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của AO và BC

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh: AE.AD = AH.AO = AB2 và chứng minh: tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn.

Chỉ ra được  \( AE.AD=A{{B}^{2}} \)

Chỉ ra được  \( AH.AO=A{{B}^{2}} \)

 \( \Rightarrow AE.AD=AH.AO=A{{B}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \Delta AHE\backsim \Delta ADO  \)

 \( \Rightarrow \widehat{EHA}=\widehat{ADO} \)

Kết luận được tứ giác ODEH nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: HE vuông góc với BF.

Tứ giác ODEH nội tiếp  \( \Rightarrow \widehat{HED}+\widehat{HOD}={{180}^{O}} \)

Chứng minh BD // AO  \( \Rightarrow \widehat{BDO}+\widehat{HOD}={{180}^{O}} \)  \( \Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{HED} \)

Tam giác BCD vuông tại B  \( \Rightarrow \widehat{BDC}+\widehat{BCD}={{90}^{O}} \)

Chỉ ra  \( \widehat{BCD}=\widehat{BED} \) (hai góc nội tiếp cùng chắn  \( \overset\frown{BD} \))

\(\Rightarrow \widehat{HED}+\widehat{BED}={{90}^{O}}\Rightarrow \widehat{HEB}={{90}^{O}}\) \(\Rightarrow HE\bot BF\) tại E

c) Chứng minh: \( \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}-\frac{DE}{AE}=1 \)

Chứng minh  \( H{{F}^{2}}=FE.FB  \),  \( A{{F}^{2}}=FE.FB  \)  \( \Rightarrow H{{F}^{2}}=A{{F}^{2}} \)

Chứng minh  \( H{{C}^{2}}=H{{B}^{2}}=BE.BF  \)

 \( \Rightarrow A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}=H{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}=H{{E}^{2}}=EB.EF  \)

 \( \Rightarrow \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}=\frac{BE.BF}{BE.EF}=\frac{BF}{EF} \)

Chứng minh  \( \Delta BDE\backsim \Delta FAE  \)  \( \Rightarrow \frac{DE}{AE}=\frac{BE}{EF} \)

 \( \Rightarrow \frac{H{{C}^{2}}}{A{{F}^{2}}-E{{F}^{2}}}-\frac{DE}{AE}=\frac{BF}{EF}-\frac{BE}{EF}=\frac{BF-BE}{EF}=\frac{EF}{EF}=1 \)