Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính ( \( A\ne B,A\ne C \)). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R).
a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.
b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.
d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.
Xét \( \Delta ABC \) vuông tại A \( \Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC \)
b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Có E là trung điểm của AB \( \Rightarrow AB\bot OE \) \( \Rightarrow \) OE là đường trung trực của AB.
\( \Rightarrow PA=PB \) \( \Rightarrow \Delta OPA=\Delta OPB \) (c – c – c)
\( \Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{PBO}={{90}^{O}} \) \( \Rightarrow PB\bot AO \)
\( \Rightarrow \)PB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.
Giả sử PC cắt AH tại N.
Ta chứng minh được \( \frac{PE}{PO}=\frac{BH}{BC} \) mà \( \frac{BH}{BC}=\frac{CN}{CP} \)
\( \Rightarrow \frac{PE}{PO}=\frac{CN}{CP} \) \( \Rightarrow \Delta PNE\backsim \Delta PCO \) (c – g – c)
\( \Rightarrow \widehat{PNE}=\widehat{PCO} \) mà hai góc ở vị trí so le trong \( \Rightarrow NE//OC\Rightarrow NE//BH \)
Lại có E là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) N là trung điểm AH \( \Rightarrow N\equiv M \)
Vậy P, M, C thẳng hàng.
d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.
Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:
\( OP+OQ\ge 2\sqrt{OP.OQ} \)
Mà \( OP.OQ=OA.PQ=PQ. \)R
\( \Rightarrow OP.OQ \) đạt giá trị nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \)PQ là khoảng cách giữa hai đường BP và CQ.
\( \Rightarrow PQ//BC \) \( \Rightarrow \)A là điểm chính giữa đường tròn.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!