Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính ( \( A\ne B,A\ne C \)). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm A thuộc đường tròn, BC là một đường kính ( \( A\ne B,A\ne C \)). Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH và P là giao điểm của OE và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R).

a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.

b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.

d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh rằng: AB2 = BH.BC.

Xét  \( \Delta ABC  \) vuông tại A  \( \Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC  \)

b) Chứng minh: PB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow AB\bot OE  \)  \( \Rightarrow  \) OE là đường trung trực của AB.

 \( \Rightarrow PA=PB  \)  \( \Rightarrow \Delta OPA=\Delta OPB  \) (c – c – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{PBO}={{90}^{O}} \)  \( \Rightarrow PB\bot AO  \)

 \( \Rightarrow  \)PB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Chứng minh ba điểm P, M, C thẳng hàng.

Giả sử PC cắt AH tại N.

Ta chứng minh được  \( \frac{PE}{PO}=\frac{BH}{BC} \) mà  \( \frac{BH}{BC}=\frac{CN}{CP} \)

 \( \Rightarrow \frac{PE}{PO}=\frac{CN}{CP} \)  \( \Rightarrow \Delta PNE\backsim \Delta PCO  \) (c – g – c)

 \( \Rightarrow \widehat{PNE}=\widehat{PCO} \) mà hai góc ở vị trí so le trong  \( \Rightarrow NE//OC\Rightarrow NE//BH  \)

Lại có E là trung điểm của AB  \( \Rightarrow  \) N là trung điểm AH  \( \Rightarrow N\equiv M  \)

Vậy P, M, C thẳng hàng.

d) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PA với tiếp tuyến tại C của đường tròn (O). Khi A thay đổi trên đường tròn (O), tìm giá trị nhỏ nhất của tổng OP + OQ.

Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

 \( OP+OQ\ge 2\sqrt{OP.OQ} \)

Mà  \( OP.OQ=OA.PQ=PQ. \)R

 \( \Rightarrow OP.OQ  \) đạt giá trị nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất  \( \Leftrightarrow  \)PQ là khoảng cách giữa hai đường BP và CQ.

 \( \Rightarrow PQ//BC  \)  \( \Rightarrow  \)A là điểm chính giữa đường tròn.

Các bài toán liên quan

Bài toán mới nhất!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *